نمایش مبدأ برای حد (ریاضی)

در [[ریاضیات]]، '''حد''' ([[به انگلیسی]]: Limit)، مقداری است که یک [[تابع (ریاضیات)|تابع]] (یا [[دنباله]]) با نزدیک شدن ورودی (یا اندیس) به مقداری، به آن نزدیک می‌شود.<ref>{{cite book|last=Stewart|first=James|authorlink=James Stewart (mathematician)|title=Calculus: Early Transcendentals|publisher= Brooks/Cole |edition=6th|year=2008|isbn=0-495-01166-5}}</ref> حد، یک مفهوم اساسی در [[حسابان]] و در حالت کلی، در [[آنالیز ریاضی]] است و در تعریف [[تابع پیوسته|پیوستگی]]، [[مشتق]] و [[انتگرال]] کاربرد دارد. حد، رفتار یک تابع را بیان می‌کند. در واقع، رفتار آن را در نقاط روی صفحه یا در بی‌نهایت ارزیابی می‌کند.

مفهوم [[حد دنباله|حد یک دنباله]]، درحالت کلی‌تر، به مفهوم یک شبکه [[توپولوژی|توپولوژیک]]، تعمیم داده می‌شود، که ارتباط نزدیکی با [[(نظریهٔ رده‌ها)|حد]] و [[حد مستقیم]] در [[نظریهٔ رده‌ها|نظریهٔ رده‌ها]] دارد.

[[ریاضی‌دانان]] پیش‌ازآن‌که مفهوم دقیق‌ حد را به‌دست دهند، دربارهٔ آن، مجادله‌ بسیار کرده‌اند. یونانی‌ها در [[عصر باستان]] درکی از مفهوم حد داشته‌اند. برای نمونه، [[ارشمیدس]] مقدار تقریبی محیط دایره را با استفاده از [[محیط (هندسه)|محیط]] چندضلعی‌های منتظم محاط در دایره‌ای به شعاع یک، وقتی که تعداد اضلاع، بی‌کران افزایش می‌یابد، به‌دست آورد. در [[قرون وسطی]] نیز تا دورهٔ [[رنسانس]]، مفهوم حد برای به‌دست‌آوردن مساحت شکل‌های گوناگون به‌کار گرفته می‌شد.<ref>{{یادکرد وب| نشانی = http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AD%D8%AF&SSOReturnPage=Check&Rand=0| عنوان = حد| تاریخ بازدید =۳ ژانویه ۲۰۱۱| تاریخ = | ناشر = دانشنامه رشد| زبان = فارسی| archive-date = ۳ نوامبر ۲۰۱۳| archive-url = https://web.archive.org/web/20131103035239/http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AD%D8%AF&SSOReturnPage=Check&Rand=0| dead-url = yes}}</ref>

در نوشتار ریاضی، حد را گاهی با '''lim''' نمایش می‌دهند، مانند lim (''a''<sub>''n''</sub>) = ''a''، گاهی با یک پیکان رو به‌راست (→)، مانند ''a''<sub>''n''</sub> → ''a'' و گاهی هم به فارسی ''حد'' می‌نویسند.

== حد تابع ==
{{نوشتار اصلی|حد تابع}}
−
<!--ابر-->{{Double image|left|Límite 01.svg|200|Limit-at-infinity-graph.png|306|هرگاه نقطه‌ای مانند {{math|x}} در فاصلهٔ δ از {{math|c}} باشد {{math|f(x)}} در فاصلهٔ ε از {{math|L}} قرار می‌گیرد.|برای تمامی {{math|x> S}}، مقدار {{math|f(x)}} در بازهٔ ε از {{math|L}} قرار می‌گیرد.}}<!--/ابر-->
برای تابع حقیقی ''f''(''x''){{چر}} و عدد حقیقی ''c،'' عبارت
{{چپ‌چین}}
:<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>
{{پایان چپ‌چین}}
بدین معناست که اگر ''x'' به‌اندازهٔ کافی به ''c'' نزدیک شود، ''f''(''x''){{چر}} به‌اندازهٔ دل‌خواه به {{math|L}} نزدیک خواهد شد. رابطهٔ ریاضی بالا چنین خوانده‌ می‌شود: «حد {{math|f}} از {{math|x}} هنگامی که {{math|x}} به {{math|c}} نزدیک می‌شود برابر {{math|L}} است.»

[[آگوستین لویی کوشی|کوشی]]، ۱۸۲۱<ref name=Larson>{{Cite book|first1=Ron|last1=Larson|authorlink1=Ron Larson (mathematician)|first2=Bruce H.|last2=Edwards|title=Calculus of a single variable|edition=Ninth|publisher= Brooks/Cole , [[Cengage Learning]]|year=۲۰۱۰|isbn=۹۷۸-۰-۵۴۷-۲۰۹۹۸-۲}}</ref> میلادی، و به‌دنبال او، [[کارل وایراشتراس]]، تعریفی که در بالا برای حد داده‌شد را به زبان ریاضی‌ بیان کردند، که در سدهٔ ۱۹ میلادی با نام «تعریف (ε, δ) حد» شناخته شد. آن‌ها در این تعریف، از [[اپسیلون (حرف)|اپسیلون، ε]]، برای نشان دادن یک مقدار مثبت بسیار کوچک بهره بردند. هنگامی که «{{math|f(x)}} به‌اندازهٔ دلخواه به {{math|L}} نزدیک می‌شود» به این معنی است که مقدار {{math|f(x)}} کم‌کم در بازهٔ {{math|(L - ε, L + ε)}} جای می‌گیرد. با کمک [[قدر مطلق (ریاضی)|قدر مطلق]]<ref name=Larson/> چنین می‌نویسیم: {{math|{{!}}f(x) - L{{!}} <ε}}.{{سخ}}عبارت «هنگامی که {{math|x}} به‌اندازهٔ کافی به {{math|c}} نزدیک می‌شود» به این معنی است که مقدارهای حقیقی از {{math|x}} را در نظر داریم که فاصلهٔ آن‌ها از {{math|c}} کمتر از عدد مثبت [[دلتا (حرف)|دلتا، δ]] باشد؛ یعنی {{math|x}} عضو یکی از دو بازهٔ {{math|(c - δ, c)}} یا {{math|(c, c + δ)}} است، نوشتار ریاضی این عبارت چنین است: {{math|۰ <{{!}}x - c{{!}} <δ}}. نامساوی نخست یعنی فاصلهٔ میان {{math|c}} و {{math|x}} بیشتر از صفر است و {{math|x ≠ c}} است در حالی که نامساوی دوم می‌گوید فاصلهٔ {{math|x}} از {{math|c}} کمتر از {{math|δ}} است.<ref name=Larson/>

تعریف بالا برای حد می‌تواند درست باشد حتی اگر <math>f(c) \neq L</math> باشد؛ حتی لازم نیست که {{math|f(x)}} در {{math|c}} تعریف شده‌باشد.

برای نمونه، اگر:
:<math> f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} </math>

آنگاه {{عبارت چپچین|''f''(1)}} تعریف نشده‌است ([[بخش بر صفر]])؛ هر چه {{math|x}} به ۱ نزدیک می‌شود، {{math|f(x)}} متناسب با آن نیز به ۲ نزدیک می‌شود:
{{چپ‌چین}}
{| class="wikitable"
|''f''(۰٫۹)||''f''(۰٫۹۹)||''f''(۰٫۹۹۹)|| ''f''(۱٫۰) ||''f''(۱٫۰۰۱)||''f''(۱٫۰۱)||''f''(۱٫۱)
|-
| ۱٫۹۰۰ || ۱٫۹۹۰ || ۱٫۹۹۹ || ⇒ تعریف نشده ⇐ || ۲٫۰۰۱ || ۲٫۰۱۰ || ۲٫۱۰۰
|}
{{پایان چپ‌چین}}

بنابراین، {{math|f(x)}} به ۲ نزدیک می‌شود، هرگاه بتوان {{math|x}} را به‌اندازهٔ کافی به ۱ نزدیک کرد.

به عبارت دیگر، <math> \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 2 </math>

یک تابع، افزون‌بر داشتن حد در مقدارهای معین، می‌تواند در بی‌نهایت هم دارای حد باشد. برای نمونه:
:<math>f(x) = {2x-1 \over x}</math>
{{چپ‌چین}}
* ''f''(۱۰۰) = ۱٫۹۹۰۰
* ''f''(۱۰۰۰) = ۱٫۹۹۹۰
* ''f''(۱۰۰۰۰) = ۱٫۹۹۹۹۰
{{پایان چپ‌چین}}
هرگاه {{math|x}} مقدارهای بی‌نهایت بزرگ به خود گیرد، مقدار {{math|f(x)}} به سوی ۲ کشیده می‌شود. در این حالت، حد {{math|f(x)}} به ازای {{math|x}}های رو به بی‌نهایت، برابر ۲ است. بیان ریاضی این گفته چنین است:
:<math> \lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{x} = 2. </math>

== اثبات ==
این روش، به '''اثبات اپسیلون و دلتا''' مشهور است که نخستین بار، ریاضی‌دان آلمانی، کارل وایرشتراس پیش‌ نهاد.{{مدرک|منبع توسط نویسنده یاد نشده}} 

با آن، حد چنین تعریف می‌شود:

[[پرونده:epsilondelta.jpg|بندانگشتی|220px|left]]
<math>f(x)</math> در <math> x_0</math> دارای حد <math>L</math> است، اگر به‌ازای هر عدد مثبت <math>\epsilon</math>، عدد مثبت <math>\delta</math> باشد، به‌طوری‌که اگر <math>0 <|x-x_0| <\delta</math>، آنگاه<math>|f(x)-L| <\epsilon</math>.

به عبارت دیگر، برای هر <math> \varepsilon\ >0</math> یک <math> \delta\ >0</math> باشد، که برای هر <math>x</math> در<math> |x-x_0|< \delta\ </math>، چنین شود:  <math>|f(x)-L|< \varepsilon</math>.

در تعریف غیرصوری، باید گفت حد تابع <math>f(x)</math> ،<math>L </math> است اگر وقتی <math>x \to a</math>، <math>f(x)</math> به حد <math>L</math> نزدیک بشود، یا <math>f(x)</math> در <math>a</math> دارای حد <math>L</math> است، اگر هنگامی‌که <math>x</math> به <math>a</math> میل می‌کند، <math>f(x)</math> به <math>L</math> نزدیک شود.

=== مثال ===
اثبات <math>
\lim_{x \to 0}\sqrt{x} = 0
</math> :

برای هر <math> \varepsilon\ >0</math> یک <math> \delta\ >0</math> هست که:

<math> |\sqrt{x}-0|< \varepsilon\ </math>
اگر
<math> 0<x<\delta </math>

یا <math> \sqrt{x}< \varepsilon\ </math> اگر <math> 0<x<\delta </math>

با استفاده از مربع (مجذور)، می‌توان آن را چنین نوشت:

<math> x< \epsilon^2 </math> اگر <math> 0<x<\delta </math>

بنابراین <math>\delta \le \epsilon^2</math>

و این <math>\lim_{x \to 0}\sqrt{x} = 0</math> را ثابت می‌کند.

== حد یک دنباله ==
{{نوشتار اصلی|حد دنباله}}
با فرض  {{عبارت چپچین|''a''<sub>۱</sub>, ''a<sub>۲</sub>'',...}} [[دنباله]]‌ای از [[اعداد حقیقی|عددهای حقیقی]]، می‌توان گفت [[عدد حقیقی]] {{math|L}} حد این دنباله‌است هرگاه

:<math> \lim_{n \to \infty} a_n = L </math>

یعنی

به‌ازای هر عدد حقیقی {{عبارت چپچین|ε> ۰}} می‌توان یک [[اعداد طبیعی|عدد طبیعی]] {{عبارت چپچین|''n''<sub>۰</sub>}} یافت، به‌گونه‌ای‌که برای همه {{عبارت چپچین|''n''> ''n''<sub>۰</sub>}} آنگاه {{عبارت چپچین||''a''<sub>''n''</sub> − {{math|L}}| <ε}}.

عبارت بالا بدان معنا است که همهٔ عضوهای دنباله به حد دنباله نزدیک می‌شوند چون عبارت [[قدر مطلق (ریاضی)|قدر مطلقی]] {{عبارت چپچین||''a''<sub>''n''</sub> − {{math|L}}|}} برابر است با فاصلهٔ میان {{عبارت چپچین|''a''<sub>''n''</sub>}} و {{math|L}}. 

برای نمونه، دنبالهٔ {{عبارت چپچین|۱٫۷۹, ۱٫۷۹۹, ۱٫۷۹۹۹,...}}، به ۱٫۸ نزدیک می‌شود. پس ۱٫۸ حد این دنباله‌است.

همهٔ دنباله‌ها، حد ندارند. اگر دنباله‌ای حد داشت به آن دنباله ''[[سری همگرا|هم‌گرا]]'' و اگر نداشت، ''واگرا'' می‌گویند. می‌توان نشان داد که دنباله‌های هم‌گرا، حد یکتا دارند.

حد یک دنباله و حد یک تابع رابطهٔ نزدیکی با هم دارند.

== جستارهای وابسته ==
* [[قاعده هوپیتال]]
* [[پیوستگی تابع]]
* [[مشتق]]
* [[انتگرال]]
* [[حد مستقیم]]
* [[حد معکوس]]
* [[حد تابع]]
* [[حد یک-طرفه]]
* [[فهرست حدها]]

== پانویس ==
{{پانویس|۲}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc. , 1991
{{پایان چپ‌چین}}

{{آنالیز-پاورقی}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:حد (ریاضی)| ]]
[[رده:آنالیز تقریبی]]
[[رده:آنالیز حقیقی]]
[[رده:توپولوژی عمومی]]
[[رده:حد]]
[[رده:حساب دیفرانسیل]]