نمایش مبدأ برای ثابت اویلر–ماسکرونی

[[پرونده:Gamma-area.svg|بندانگشتی| مساحت ناحیهٔ آبی رنگ به ثابت اولر-ماسکرونی همگرا است.]]
'''ثابت اویلر-ماسکرونی''' (با نام '''ثابت''' '''اویلر''' نیز شناخته می‌شود) یک [[ثابت ریاضی]] است که در [[آنالیز ریاضی|آنالیز]] و [[نظریه اعداد]] بررسی می‌شود، این ثابت معمولاً با حرف یونانی [[گاما (حرف)|گامای]] کوچک({{Mvar|γ}}) نشان داده می‌شود.

این ثابت به صورت [[حد دنباله|حد]] تفاضل بین [[سری هارمونیک]] و [[لگاریتم طبیعی]] تعریف می‌شود:

: <math>\begin{align}
\gamma &= \lim_{n\to\infty}\left(-\ln n + \sum_{k=1}^n \frac1{k}\right)\\[5px]
&=\int_1^\infty\left(-\frac1x+\frac1{\lfloor x\rfloor}\right)\,dx.
\end{align}</math>

در اینجا، <math>\lfloor x\rfloor</math> [[توابع جزء صحیح و سقف|تابع جزء صحیح]] را نشان می‌دهد.

مقدار عددی ثابت اویلر-ماسکرونی، تا ۵۰ رقم اعشار برابر است با:

: {{Gaps|0.57721|56649|01532|86060|65120|90082|40243|10421|59335|93992|…}} {{Nowrap|{{OEIS|A001620}}}}

{| class="infobox bordered" cellpadding="5"
| [[دستگاه اعداد دودویی|دودویی]]
| {{Gaps|0.1001|0011|1100|0100|0110|0111|1110|0011|0111|1101|…}}
|-
| [[ده‌دهی|اعشاری]]
| {{Gaps|0.57721|56649|01532|86060|65120|90082|40243|10421|…}}
|-
| [[دستگاه اعداد پایه ۱۶|بر مبنای شانزده]]
| {{Gaps|0.93C4|67E3|7DB0|C7A4|D1BE|3F81|0152|CB56|A1CE|CC3A|…}}
|-
| [[کسر مسلسل]]
| {{Nowrap|[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, ...]}}{{سخ}}{{سخ}}{{سخ}}{{سخ}}<small>(هنوز مشخص نیست که این کسر مسلسل [[کسر مسلسل|متناهی]] یا نامتناهی [[کسر مسلسل دوره‌ای|دوره ای]] یا نامتناهی غیر دوره ای است.{{سخ}}کسر مسلسل به روش علامتگذاری خطی نشان داده شده‌است)</small>{{سخ}}{{سخ}}{{سخ}}{{سخ}}منبع: {{Harvard citation no brackets|Sloane}}
|}

== تاریخچه ==
[[لئونارد اویلر]]، ریاضیدان سوئیسی در مقاله ای با عنوان ''De Progressionibus harmonicis observationes'' (نمایهٔ Eneström 43) در سال ۱۷۳۴ اولین بار از این ثابت استفاده کرد. اویلر از علامت {{ریاضی|''C''}} و {{ریاضی|''O''}} برای این ثابت استفاده کرد. در سال ۱۷۹۰ ریاضیدان [[ایتالیا]]یی، [[Lorenzo Mascheroni|لورنزو ماسکرونی]] از نمادهای {{ریاضی|''A''}} و {{ریاضی|''a''}} برای آن استفاده کرد. علامت {{Mvar|γ}} در هیچ‌یک از نوشته‌های اویلر و ماسکرونی دیده نمی‌شود و شاید بعداً به دلیل ارتباط آن با [[تابع گاما]] انتخاب شده باشد {{Harvard citation|Lagarias|2013}}. مثلاً، ریاضیدان [[آلمان]]ی [[کارل آنتون Bretschneider|کارل آنتون برسشنایدر]] از علامت {{Mvar|γ}} در سال ۱۸۳۵ استفاده کرد{{Harvard citation|Bretschneider|1837}} و [[آگوستوس دمورگان]] از این علامت در یک کتاب درسی استفاده کرده‌است. {{Harvard citation|De Morgan|1836–1842}}

== ویژگی‌ها ==
تا به حال جبری یا متعالی بودن عدد {{Mvar|γ}} مشخص نشده‌است. در واقع، حتی گنگ بودن یا نبودن {{Mvar|γ}} نیز معلوم نیست. پاپانیکولائو در سال ۱۹۹۷ با استفاده از تجزیه و تحلیل [[کسر مسلسل]]، نشان داد که اگر {{Mvar|γ}} گنگ باشد، مخرج کسر غیرقابل قسم آن باید بیشتر از عدد 10<sup>244663</sup> باشد.<ref name=":0">{{Cite journal|last=Haible|first=Bruno|last2=Papanikolaou|first2=Thomas|date=1998|editor-last=Buhler|editor-first=Joe P.|title=Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers|journal=Algorithmic Number Theory|series=Lecture Notes in Computer Science|language=en|publisher=Springer Berlin Heidelberg|volume=1423|pages=338–350|doi=10.1007/bfb0054873|isbn=978-3-540-69113-6}}</ref>

=== ارتباط با تابع گاما ===
{{Mvar|γ}} به [[تابع دایگاما]] {{ریاضی|Ψ}}، و [[مشتق]] [[تابع گاما]] {{ریاضی|Γ}} مربوط است، مقدار هر دو تابع در نقطهٔ یک برابر است پس:

: <math>-\gamma = \Gamma'(1) = \Psi(1). </math>

که این برابر با حد زیر است:

: <math>\begin{align}-\gamma &= \lim_{z\to 0}\left(\Gamma(z) - \frac1{z}\right) \\&= \lim_{z\to 0}\left(\Psi(z) + \frac1{z}\right).\end{align}</math>

نتایج حدی بیشتر {{Harvard citation|Krämer|2005}}:

: <math>\begin{align} \lim_{z\to 0}\frac1{z}\left(\frac1{\Gamma(1+z)} - \frac1{\Gamma(1-z)}\right) &= 2\gamma \\
\lim_{z\to 0}\frac1{z}\left(\frac1{\Psi(1-z)} - \frac1{\Psi(1+z)}\right) &= \frac{\pi^2}{3\gamma^2}. \end{align}</math>

حد مربوط به [[تابع بتا]] است (که بر حسب [[تابع گاما|توابع گاما]] بیان شده‌است)

: <math>\begin{align} \gamma &= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{ \Gamma\left(\frac1{n}\right) \Gamma(n+1)\, n^{1+\frac1{n}}}{\Gamma\left(2+n+\frac1{n}\right)} - \frac{n^2}{n+1}\right) \\
&= \lim\limits_{m\to\infty}\sum_{k=1}^m{m \choose k}\frac{(-1)^k}{k}\ln\big(\Gamma(k+1)\big). \end{align}</math>

=== کسر مسلسل ===
بسط [[کسر مسلسل]] {{Mvar|γ}} به شکل روبه رو است {{Nowrap|[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...]}} {{Nowrap|[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, …]}} {{Nowrap|[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...]}} {{Nowrap|[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...]}} OEIS: A002852، که الگوی ''آشکاری'' ندارد. ۴۷۵٬۰۰۶ مورد از اعداد الگوی بالا پیدا شده‌اند،<ref name=":0"/> و تعدادشان بی‌نهایت است [[اگر و تنها اگر]] {{Mvar|γ}} گنگ باشد.

[[پرونده:Generalisation_of_Euler–Mascheroni_constant.jpg|چپ|بندانگشتی|512x512پیکسل| {{ریاضی|abm(''x'') {{=}} ''γ''<sub>−''x''</sub>}}]]

== منابع ==
{{پانویس}}
* {{Cite journal|last=Borwein, Jonathan M.|last2=David M. Bradley|last3=Richard E. Crandall|year=2000|title=Computational Strategies for the Riemann Zeta Function|url=http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf|journal=Journal of Computational and Applied Mathematics|volume=121|issue=1–2|pages=11|bibcode=2000JCoAM.121..247B|doi=10.1016/s0377-0427(00)00336-8|ref=harv|access-date=۶ سپتامبر ۲۰۲۰|archive-date=۲۵ سپتامبر ۲۰۰۶|archive-url=https://web.archive.org/web/20060925091659/http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf|url-status=dead}} {{Mvar|γ}} به عنوان مبالغی از توابع zeta ریمان استخراج می‌کند.
* {{Cite journal|last=Gerst|first=I.|year=1969|title=Some series for Euler's constant|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1969-03_76_3/page/237|journal=Amer. Math. Monthly|volume=76|issue=3|pages=237–275|doi=10.2307/2316370|jstor=2316370|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Glaisher|first=James Whitbread Lee|author-link=James Whitbread Lee Glaisher|year=1872|title=On the history of Euler's constant|journal=Messenger of Mathematics|volume=1|pages=25–30|jfm=03.0130.01|ref=harv}}
* {{Cite web|last=Gourdon|first=Xavier|last2=Seba|first2=P.|year=2002|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gammaFormulas.html|title=Collection of formulas for Euler's constant, {{mvar|γ}}|ref=harv}}
* Gourdon , Xavier و Sebah , P. (2004) " [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.html ثابت اولر: {{Mvar|γ}}] " [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.html .]
* {{Cite journal|last=Karatsuba|first=E. A.|year=1991|title=Fast evaluation of transcendental functions|journal=Probl. Inf. Transm.|volume=27|pages=339–360|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Karatsuba|first=E.A.|year=2000|title=On the computation of the Euler constant {{mvar|γ|}}|url=|journal=Journal of Numerical Algorithms|volume=24|issue=1–2|pages=83–97|doi=10.1023/A:1019137125281|ref=harv}}
* {{Cite book|last=Knuth|first=Donald|authorlink=Donald Knuth|year=1997|title=[[The Art of Computer Programming|The Art of Computer Programming, Vol. 1]]|edition=3rd|publisher=Addison-Wesley|isbn=0-201-89683-4|ref=harv}} <bdi> {{Cite book|last=Knuth|first=Donald|authorlink=Donald Knuth|year=1997|title=[[The Art of Computer Programming|The Art of Computer Programming, Vol. 1]]|edition=3rd|publisher=Addison-Wesley|isbn=0-201-89683-4|ref=harv}} </bdi> {{Cite book|last=Knuth|first=Donald|authorlink=Donald Knuth|year=1997|title=[[The Art of Computer Programming|The Art of Computer Programming, Vol. 1]]|edition=3rd|publisher=Addison-Wesley|isbn=0-201-89683-4|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Lerch|first=M.|year=1897|title=Expressions nouvelles de la constante d'Euler|url=|journal=Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften|volume=42|issue=|page=5|ref=harv}}
* {{Citation|last=Mascheroni|first=Lorenzo|author-link=Lorenzo Mascheroni|year=1790|title=Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur|publisher=Galeati, Ticini|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Lehmer|first=D. H.|year=1975|title=Euler constants for arithmetical progressions|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa27/aa27121.pdf|journal=Acta Arith.|volume=27|pages=125–142|doi=10.4064/aa-27-1-125-142|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Vacca|first=G.|year=1926|title=Nuova serie per la costante di Eulero, {{mvar|C}} = 0,577...". Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche|url=|journal=Matematiche e Naturali|volume=6|issue=3|pages=19–20|ref=harv}}

== پیوند به بیرون ==
* {{springer|title=Euler constant|id=p/e036420}}
* {{mathworld|urlname=Euler-MascheroniConstant|title=Euler–Mascheroni constant}}
* [http://home.earthlink.net/~jsondow/ Jonathan Sondow.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071210200421/http://home.earthlink.net/~jsondow/ |date=10 دسامبر 2007}}
* [http://www.ccas.ru/personal/karatsuba/algen.htm Fast Algorithms and the FEE Method], E.A. Karatsuba (2005)
* Further formulae which make use of the constant: [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gammaFormulas.html Gourdon and Sebah (2004).]

[[رده:ثابت‌های ریاضی]]
[[رده:لئونارد اویلر]]
[[رده:مسائل حل‌نشده در نظریه اعداد]]
[[رده:مسئله‌های حل‌نشده در ریاضیات]]