نمایش مبدأ برای توزیع لاگ-نرمال

{{جعبه اطلاعات توزیع احتمال
  | name      = لاگ-نرمال
  | type      = continuous
  | pdf_image = [[Image:PDF-log normal distributions.svg|300px|Plot of the Lognormal PDF]]{{سخ}}<small>بعضی از توابع چگالی لاگ-نرمال با پارامتر همانی <math>\mu</math> اما پارامترهای متفاوت <math>\sigma</math></small>
  | cdf_image = [[Image:CDF-log normal distributions.svg|300px|Plot of the Lognormal CDF]]{{سخ}}<small>تابع توزیع تجمیعی توزیع لاگ-نرمال (با <math>\mu = 0</math>)</small>
  | notation  = <math>\operatorname{Lognormal}(\mu,\,\sigma^2)</math>
  | parameters= <math>\mu \in (-\infty, +\infty) </math>,{{سخ}}<math>\sigma > 0</math>
  | support   = <math>x \in (0, +\infty)</math>
  | pdf       = <math>\frac 1 {x\sigma\sqrt{2\pi}}\ \exp\left(-\frac{\left(\ln x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right)</math>
  | cdf       = <math>\frac12 + \frac12\operatorname{erf}\Big[\frac{\ln x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\Big]</math>
  | quantile  = <math>\exp(\mu + \sqrt{2\sigma^2}\operatorname{erf}^{-1}(2p-1))</math>
  | mean      = <math>\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)</math>
  | median    = <math>\exp(\mu)</math>
  | mode      = <math>\exp(\mu-\sigma^2)</math>
  | variance  = <math>[\exp(\sigma^2)-1] \exp(2\mu+\sigma^2)</math>
  | skewness  = <math>(\exp(\sigma^2)+2) \sqrt{\exp(\sigma^2)-1}</math>
  | kurtosis  = <math>\exp(4\sigma^2) + 2\exp(3\sigma^2) + 3\exp(2\sigma^2) -6</math>
  | value_at_risk = <math>e^{\mu+z_p\sigma}</math>
  | entropy   = <math>\log_2(\sigma e^{\mu+\tfrac12} \sqrt{2\pi} )</math>
  | mgf       =، تنها برای اعداد با قسمت حقیقی غیرمثبت تعریف شده‌است متن را ببینید.
  | char      = نمایش <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}</math> به صورت مجانبی واگرا است، اما برای اهداف عددی کافی می‌باشد.
  | fisher    = <math>\begin{pmatrix}1/\sigma^2&0\\0&1/2\sigma^4\end{pmatrix}</math>
  | moments = <math> \mu = \log \left(\frac{\operatorname{E}[X]^2}{\sqrt{\operatorname{Var}[X] + \operatorname{E}[X]^2}} \right) </math>,{{سخ}}<math> \sigma^2 = \log\left(\frac{\operatorname{Var}[X]}{\operatorname{E}[X]^2} + 1 \right) </math>
  }}
'''توزیع لاگ-نرمال''' {{به انگلیسی|log-normal یا lognormal}} در [[نظریه احتمالات|نظریه احتمال]] نوعی [[توزیع احتمال]] پیوسته برای یک [[متغیر تصادفی]] است، که [[لگاریتم]] آن به صورت [[توزیع نرمال|نرمال]] توزیع شده‌است.

از این رو اگر متغیر تصادفی {{mvar|X}} به صورت لاگ-نرمال توزیع شده باشد، آنوقت {{math|''Y'' {{=}} ln(''X'')}} دارای توزیع نرمال است.<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-04-26|title=List of Probability and Statistics Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/probability-statistics-symbols/|access-date=2020-09-13|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Log Normal Distribution|url=https://mathworld.wolfram.com/LogNormalDistribution.html|access-date=2020-09-13|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":2">{{Cite web|title=1.3.6.6.9. Lognormal Distribution|url=https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3669.htm|access-date=2020-09-13|website=www.itl.nist.gov}}</ref> به بیان دیگر، اگر {{mvar|Y}}دارای توزیع نرمال باشد، آنوقت [[تابع نمایی]] {{mvar|Y}}، یعنی {{math|''X'' {{=}} exp(''Y'')}} دارای توزیع لاگ-نرمال است. متغیر تصادفی که به صورت لاگ-نرمال توزیع شده‌است، فقط مقادیر مثبت و حقیقی را می‌پذیرد.

[[پرونده:Lognormal_Distribution.svg|بندانگشتی|رابطه بین توزیع‌های نرمال و لاگ-نرمال. اگر <math>Y=\mu+\sigma Z</math> به صورت نرمال توزیع شده باشد، آنوقت <math>X\sim e^{Y}</math> به صورت لاگ-نرمال توزیع شده‌است.|جایگزین=|وسط]]

توزیع لاگ-نرمال مدلی مفید و مناسب برای اندازه‌گیری‌ها در علوم دقیق و [[مهندسی]]، مثل [[پزشکی]]، [[علم اقتصاد|اقتصاد]] و دیگر عناوین است (مثلا انرژی، غلظت، طول، بازدهی مالی، و دیگر سنجه‌ها).

به این توزیع، بعضی مواقع توزیع گالتون {{به انگلیسی|Galton distribution}} هم می‌گویند که به افتخار [[فرانسیس گالتون]] نامگذاری شده‌است.<ref name="JKB"/> توزیع لاگ-نرمال با دیگر اسامی مثل مک آلیستر {{به انگلیسی|McAlister}}, [[:en:Gibrat's_law|جبرات]] {{به انگلیسی|Gibrat}} و [[:en:Cobb–Douglas_production_function|کاب – داگلاس]] {{به انگلیسی|Cobb–Douglas}} نیز مرتبط است.<ref name="JKB"/>

یک فرایند لاگ-نرمال، یک فهم آماری از [[حاصل‌ضرب]] چندین [[متغیر تصادفی مستقل]] است، که همه آن‌ها مثبت هستند. این موضوع از طریق درنظرگرفتن [[قضیه حد مرکزی]] در دامنه لاگ قابل توجیه است. توزیع لاگ-نرمال همان [[:en:Maximum_entropy_probability_distribution|توزیع احتمال با آنتروپی حداکثری]] برای متغیر تصادفی {{mvar|X}} است که در آن میانگین و واریانس {{math|ln(''X'')}} از قبل معین بوده‌است.<ref>{{Cite journal|last1=Park|first1=Sung Y.|last2=Bera|first2=Anil K.|year=2009|title=Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model|url=http://www.wise.xmu.edu.cn/Master/Download/..%5C..%5CUploadFiles%5Cpaper-masterdownload%5C2009519932327055475115776.pdf|journal=Journal of Econometrics|volume=150|issue=2|pages=219–230|citeseerx=10.1.1.511.9750|doi=10.1016/j.jeconom.2008.12.014|archive-url=https://web.archive.org/web/20160307144515/http://wise.xmu.edu.cn/uploadfiles/paper-masterdownload/2009519932327055475115776.pdf|archive-date=2016-03-07|access-date=2011-06-02|url-status=dead}} Table 1, p. 221.</ref>

== تعاریف ==
=== تولید و پارامترها ===
فرض کنید که <math>Z</math> یک متغیر تصادفی با [[:en:Standard_normal_deviate|توزیع نرمال استاندارد]] باشد، و همچنین فرض کنید که <math>\mu</math> و <math>\sigma>0</math> دو عدد حقیقی باشند. آنوقت توزیع متغیر تصادفی

<math> X=e^{\mu+\sigma Z} </math>

یک توزیع لاگ-نرمال با پارامترهای <math>\mu</math> و <math>\sigma</math> نامیده می‌شود. این پارامترها [[مقدار چشمداشتی]] (یا [[میانگین]]) و [[انحراف معیار]] برای [[لگاریتم]] طبیعی متغیر <math>X</math> هستند، و نه خود <math>X</math>.

== پانویس ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله|30em|refs=
<ref name=JKB>{{Citation | last1=Johnson | first1=Norman L. | last2=Kotz | first2=Samuel | last3=Balakrishnan | first3=N. | title=Continuous univariate distributions. Vol. 1 | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | edition=2nd | series=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics | isbn=978-0-471-58495-7 | mr = 1299979| year=1994 |chapter=14: Lognormal Distributions}}</ref>
}}

== منابع ==
* {{یادکرد-ویکی
|پیوند=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Log-normal_distribution&oldid=698492064
|عنوان=Log-normal distribution
|زبان=انگلیسی
|بازیابی= 15 اکتبر 2020}}
{{توزیع‌های احتمالات}}

{{آمار-خرد}}

[[رده:توزیع نرمال]]
[[رده:توزیع‌های پیوسته|لگ نرمال]]
[[رده:توزیع‌های خانواده نمایی]]
[[رده:حسابان غیرنیوتونی]]