نمایش مبدأ برای توزیع دوجمله‌ای

{{توزیع احتمال|
| name       =دوجمله‌ای
| type       =چگالی
| pdf_image  =[[پرونده:Binomial distribution pmf.svg|300px|Probability mass function for the binomial distribution]]
| cdf_image  =[[پرونده:Binomial distribution cdf.svg|300px|Cumulative distribution function for the binomial distribution]]{{سخ}}<small>رنگها بر شکل قبلی منطبق است</small>|
  parameters =<math>n \geq 0</math> تعداد تکرارها ([[عدد طبیعی|طبیعی]]){{سخ}}<math>0\leq p \leq 1</math> شانس موفقیت ([[عدد حقیقی|حقیقی]])|
  support    =<math>k \in \{0,\dots,n\}\!</math>|
  pdf        =<math>{n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!</math>|
  cdf        =<math>I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!</math>|
  mean       =<math>np\!</math>|
  median     =یکی از <math>\{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}</math>|
  mode       =<math>\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!</math>|
  variance   =<math>np(1-p)\!</math>|
  skewness   =<math>\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!</math>|
  kurtosis   =<math>\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!</math>|
  entropy    =<math> \frac{1}{2} \ln \left(2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left(\frac{1}{n} \right) </math>|
  mgf        =<math>(1-p + pe^t)^n \!</math>|
  char       =<math>(1-p + pe^{it})^n \!</math>|}}

'''توزیع دوجمله‌ای'''<ref>{{یادکرد-فرهنگستان
<!-- اطلاعات واژه -->
|واژهٔ مصوب= توزیع دوجمله‌ای
|حوزه= ریاضی
| واژهٔ غیرفارسی با حروف فارسی =
| واژهٔ غیرفارسی با حروف زبان اصلی = binomial distribution
|زبان واژهٔ غیرفارسی = انگلیسی
<!-- اطلاعات منبع -->
|دفتر= ششم
|بخش= فارسی
|تاریخ بازچاپ=
|سرواژه= توزیع دوجمله‌ای}}</ref> نوعی توزیع پرکاربرد در [[آمار]]، [[علم اقتصاد|اقتصاد]]، و [[علوم تجربی]] است.
در نظریهٔ احتمال و آمار توزیع دوجمله‌ای توزیعی گسسته‌ است از تعداد موفقیت‌ها در دنباله‌ای شامل n آزمایش مستقل برنولی همه با احتمال موفقیت p([[توزیع برنولی]]). در واقع [[متغیر تصادفی]] X (تعداد موفقیت‌ها) را متغیر دوجمله‌ای با پارامترهای n و p می‌گویند.

یک آزمایش دوجمله‌ای بایستی دارای ویژگی‌های زیر باشد:<ref>''Mathematical Statistics with Applications''. Wackerly, Mendenhall. 5Ed. 1996. {{ISBN|0-534-20916-5|en}} pp.88</ref>
* آزمایش دارای n تعداد آزمون یکسان و عیناً مشابه باشد.
* نتیجه هر آزمون فقط به یکی از این دو صورت باشد: موفق یا ناموفق.
* احتمال موفقیت آزمونی را اگر با p نشان دهیم، از آزمون به آزمون یکسان بوده و متغیر نباشد. احتمال ناموفقیت را با q نشان داده که برابر است با {{وسط‌چین}}{{چپ‌چین}}q=1-p{{پایان چپ‌چین}}{{پایان}}
* آزمون‌ها مستقل باشند.

{{-}}
[[پرونده:Pascal's triangle; binomial distribution.svg|بندانگشتی|340px|توزیع دوجمله‌ای برای p=۰٫۵ , مثلث خیام _ پاسکال]]

== مشخصه‌ها ==
=== تابع جرم احتمال ===
درحالت کلی اگر X یک متغیر تصادفی دوجمله‌ای با پارامترهای p,n باشد، آن را به‌صورت
(''X'' ~ B(''n'', ''p''
نمایش می‌دهیم. احتمال بدست‌آوردن k موفقیت با [[تابع جرم احتمال]] زیر مشخص می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math> p(k) = \Pr(X = k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\quad\quad\quad\quad for\quad k=0,1,2,... ,n\,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
{{سخ}}حال می‌خواهیم بررسی کنیم که این فرمول چگونه بدست‌آمده‌است: توجه کنید که تعداد راه‌های ممکن در انجام n [[آزمایش برنولی]] که می‌تواند به k موفقیت منتهی شود برابر است با تعداد دنباله‌های مختلف به طول n از حروف b , a با k حرف a (موفقیت) و n-k حرف b (شکست). اما تعداد این دنباله‌ها برابر است با
<math> {n\choose k}</math>
، زیرا تعداد جایگشت‌های متمایز n حرف از دو نوع مختلف، که k تا همانند از نوع اول و n-k تا همانند از نوع دوم وجود دارد برابر است با
<math>\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>.
باتوجه به استقلال امتحان‌ها چون احتمال هریک از این دنباله پیشامدها برابر
<math> p^k(1-p)^{n-k}</math>
است داریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>\Pr(X = k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
{{سخ}}دلیل اینکه به این توزیع دوجمله‌ای می‌گویند این است که قضیهٔ [[بسط دوجمله‌ای]] تضمین می‌کند که
<math> p(k)</math> یک تابع جرم احتمال است:
{{سخ}}
{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{k=0}^n p(k)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}(1-p)^{n-k}p^{k}=[p+(1-p)]^n=1^n=1\,</math>
{{پایان چپ‌چین}}

=== [[تابع توزیع تجمعی]] ===
تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی دوجمله‌ای به‌شکل زیر است:
{{سخ}}
{{چپ‌چین}}
:<math>F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}\,</math>
{{پایان چپ‌چین}}

== مثال ==
اگر یک تیرانداز با احتمال ۰/۷ تیری را به هدف بزند و x تعداد تیرهای به هدف خورده در ۵ شلیک باشد؛
{{سخ}}
ابتدا [[توزیع احتمال]] x را معلوم کنید و هر یک از احتمال‌های زیر را به دست آورید.
{{سخ}}
الف- دقیقاً ۳ تیر به هدف بزند.
{{سخ}}
ب- حداکثر ۲ تیر به هدف بزند.
{{سخ}}
ج- هیچ تیری به هدف نزند.
{{سخ}}
متغیر تصادفی x، دارای توزیع دو جمله‌ای با پارامترهای n=۵ , p=۰٫۷ است که تابع احتمال آن را به صورت زیر می‌نویسیم:
{{سخ}}
{{چپ‌چین}}<math> p(k)={n\choose k}(0.7)^k (0.3)^{5-k}</math>{{پایان چپ‌چین}}
{{سخ}}
برای به دست آوردن [[احتمالات]] در این مثال داریم:
{{سخ}}
{{چپ‌چین}}
:<math> P(X=3)={5\choose 3}(0.7)^3 (0.3)^{2}=0.3087 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
{{سخ}}
{{چپ‌چین}}
:<math> P(X\le 2)=p(0)+p(1)+p(2)=0.16308\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
{{سخ}}
{{چپ‌چین}}
:<math> P(X=0)=p(0)=0.00243\,</math>{{پایان چپ‌چین}}

== میانگین و واریانس متغیرهای تصادفی دوجمله‌ای ==
فرض کنید <math>X </math> یک متغیر تصادفی دوجمله‌ای با پارامترهای <math>n </math> و <math>p </math> باشد. به‌طور شهودی انتظار داریم که میانگین <math>X </math> برابر <math>np </math> باشد. مثلاً اگر سکهٔ سالمی را صد بار پرتاب کنیم، انتظار داریم به‌طور متوسط ۵۰ بار شیر مشاهده کنیم که برابر است با:
<math>np=100*(1/2)</math>. فرمول: <math>\operatorname{E}[X] = np </math> را می‌توان مستقیماً از تعریف [[امید ریاضی]] بدست‌آورد. در زیر این فرمول‌های امید ریاضی و [[واریانس]] این متغیر را آورده‌ایم:
{{سخ}}
{{چپ‌چین}}<math> \operatorname{E}[X] = np </math>{{پایان چپ‌چین}}
{{سخ}}
{{چپ‌چین}}<math>\operatorname{Var}[X] = np(1 - p).</math>{{پایان چپ‌چین}}

== مثال ==
تاسی را ۳ بار پرتاب می‌کنیم. اگر متغیر تصادفی <math>X </math> تعداد تاسهایی که شش آمده باشد، تابع احتمال <math>X </math> را بنویسید و امید ریاضی و واریانس آن را محاسبه کنید.
{{سخ}}
چون پرتاب‌ها از یکدیگر مستقل اند و احتمال موفقیت (شش آمدن) در هر پرتاب ۱/۶ است و این آزمایش n=۳ بار تکرار می‌شود، بنابراین شرایط توزیع دوجمله‌ای با<math>p=\frac{1}{6}</math>، n=۳ برقرار است و توزیع احتمال X را به صورت زیر می‌نویسیم:
{{سخ}}
{{چپ‌چین}}

:<math>p(k)={3\choose k}(1/6)^k (5/6)^{3-k}\quad\quad\quad\quad </math>for\quad k=0,1,2,3
{{پایان چپ‌چین}}
{{سخ}}
{{چپ‌چین}}<math>\operatorname{E}[X] = np=3*\frac{1}{6} </math>{{پایان چپ‌چین}}
{{سخ}}
{{چپ‌چین}} <math>\operatorname{Var}[X] = np(1 - p)=3*\frac{1}{6}*\frac{5}{6}
</math>
{{پایان چپ‌چین}}<ref>''Mathematical Statistics with Applications''. Wackerly, Mendenhall. 5Ed. 1996. {{ISBN|0-534-20916-5|en}} pp.90</ref>

== منابع ==
{{ویکی‌انبار-رده|Binomial distributions}}
* {{یادکرد وب| نشانی = http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=توزیع+دوجمله‌ای.| عنوان = توزیع دوجمله‌ای| تاریخ بازدید = ۷ بهمن ۱۳۸۷| تاریخ = | ناشر = دانشنامهٔ رشد | زبان = فارسی}}
* page 27,37 introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross
* {{یادکرد|نویسنده = saeed_ghahramani |
عنوان = Fundumentals_of_Probability_3rd.Edition}}
دانش اسدی دانشجوی امار
{{پانویس}}
{{توزیع‌های احتمالات}}

{{آمار-خرد}}

[[رده:توزیع مزدوج پیشین]]
[[رده:توزیع‌های خانواده نمایی]]
[[رده:توزیع‌های گسسته|دوجمله‌ای]]
[[رده:موضوعات فاکتوریل و دوجمله‌ای]]