نمایش مبدأ برای ترانهاده

[[پرونده:Matrix transpose.gif|بندانگشتی|200px|چپ|ماتریس ترانهاده]]
در [[جبر خطی]] '''ترانهاده''' {{به انگلیسی|Transpose}} یک [[ماتریس (ریاضی)|ماتریس]] مانند '''A''' ماتریس دیگری است که با نماد '''A'''<sup>T</sup> (به شکل‌های دیگر '''A'''′، '''A'''<sup>tr</sup> یا <sup>t</sup>'''A''' نوشته می‌شود) مشخص شده و نسبت به ماتریس A دارای تفاوت با تعریف زیر است:
<math>[A]_{i \times j}=[A^T]_{j \times i}</math>

به عبارت دیگر باید هنگام نوشتن ترانهاده هر ماتریسی سطرهای ماتریس را به شکل ستون نوشت و ستون‌های ماتریس را به شکل سطر؛

در واقع یک ماتریس n×m اگر ترانهاده شود یک ماتریس m×n خواهد بود. ترانهاده یک عدد همان عدد است.

== مثال‌ها ==
* <math>\begin{bmatrix}
1 & 2  \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1   \\
2  \end{bmatrix}.
</math>
* <math>\begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}.
</math>
* <math>
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}  \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix}. \;
</math>

== خواص ترانهاد ==
برای دو ماتریس دلخواه A و B و عدد C خواص زیر صدق می‌کند
*<math>\left( \mathbf{A}^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad \,</math>
*<math>(\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} \,</math>
*<math>\left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} \,</math>
* [[ماتریس مربعی]] '''A''' [[ماتریس وارون‌پذیر|وارون‌پذیر]] است اگر و فقط اگر '''A'''<sup>T</sup> وارون‌پذیر باشد
*<math>(c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T} \,</math>
*<math>\det(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \det(\mathbf{A}) \,</math>
* [[ضرب داخلی]] دو ماتریس '''a''' و '''b''' می‌توان به شکل زیر محاسبه شود.
{{وسط‌چین}}
:<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},</math>
{{پایان وسط‌چین}}
که در [[نمادگذاری اینشتین]]'''a'''<sub>''i''</sub> '''b'''<sup>''i''</sup> نوشته می‌شود.
<!-- *If '''A''' has only real entries, then '''A'''<sup>T</sup>'''A''' is a [[positive-semidefinite matrix]]. -->
*<math>(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,</math>
* اگر A یک ماتریس مربعی باشد [[مقدار ویژه]] این ماتریس برابر مقدار ویژه ماتریس ترانهاده آن است.

== ماتریس‌های خاص ==
ماتریس مربعی در صورتی [[ماتریس متقارن]] نامید می‌شود که ترانهاده‌اش با خودش برابر باشد
{{وسط‌چین}}
:<math>\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \mathbf{A}.\,</math>
{{پایان وسط‌چین}}
ماتریس G در صورتی [[ماتریس متعامد]] است که:

:<math>\mathbf{G G}^\mathrm{T} = \mathbf{G}^\mathrm{T} \mathbf{G} = \mathbf{I}_n , \,</math> &nbsp؛ که I [[ماتریس همانی]] است. '''G'''<sup>T</sup> = '''G'''<sup>-۱</sup>.
ماتریسی که ترانهاده‌اش با قرینه‌اش برابر باشد [[ماتریس پادمتقارن]] نامیده می‌شود
{{وسط‌چین}}
:<math>\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = -\mathbf{A}.\,</math>
{{پایان وسط‌چین}}
[[همیوغ ترانهاده]] ماتریس '''A'''، به شکل '''A'''<sup>*</sup>، نوشته می‌شود برابر است با ترانهاده آن ماتریس و [[ماتریس همیوغ]] آن.
{{وسط‌چین}}
:<math>\mathbf{A}^* = (\overline{\mathbf{A}})^{\mathrm{T}} = \overline{(\mathbf{A}^{\mathrm{T}})}.</math>
{{پایان وسط‌چین}}

== جستارهای وابسته ==
* [[ماتریس وارون‌پذیر]]

== پیوند به بیرون ==
* [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/detail/lecture05.htm کلاس درس دانشگاه ام‌آی‌تی درباره جبر خطی]
* [http://mathworld.wolfram.com/Transpose.html ترانهاده]، mathworld.wolfram.com
* [http://planetmath.org/encyclopedia/Transpose.html ترانهاده] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308014029/http://planetmath.org/encyclopedia/transpose.html |date=۸ مارس ۲۰۱۶ }}، planetmath.org

{{ماتریس‌ها}}
{{جبر خطی}}

[[رده:جبر خطی]]
[[رده:جبر مجرد]]
[[رده:ماتریس‌ها]]