نمایش مبدأ برای تبدیل موجک سریع

'''تبدیل موجک سریع''' [[الگوریتم]]ی ریاضی برای یافتنِ [[تبدیل موجک]] یک سیگنال است. بدین منظور تصویرِ سیگنال روی هر یک از توابع موجک در زمان‌ها و مقیاس‌های مختلف محاسبه می‌گردد. به عبارت دیگر، [[حاصل‌ضرب داخلی]] سیگنال <math>f(t)</math> با هر یک از موجک‌ها <math>\phi</math> به شکل زیر محاسبه می‌شود: 
<center>
<math>s^{(J)}_n:=2^J \langle f(t),\phi(2^J t-n) \rangle,</math> 
</center>
تصویر سیگنال بر فضای <math>V_j</math> برابر است با:
<center>
<math> P_J[f](x):=\sum_{n\in\Z} s^{(J)}_n\,\phi(2^Jx-n)</math>
</center>

== [[تبدیل موجک گسسته]] ==
[[پرونده:Wavelets_-_DWT.png|thumb|390px|یک مرحله از تبدیل موجک با فیلترهای h و g]]
با داشتنِ مضارب <math>s^{(J)}</math> با الگوریتمِ بازگشتی مضارب <math>s^{(J-1)}</math> را با استفاده از رابطهٔ زیر می‌توان یافت:
<center>
<math>s^{(k)}_n:=\frac12 \sum_{m=-N}^N a_m s^{(k+1)}_{2n+m}</math>
</center>
یا: 
<center>
<math>s^{(k)}(Z):=(\downarrow 2)(a^*(Z)\cdot s^{(k+1)}(Z))</math>
</center>
و:
<center>
<math>d^{(k)}_n:=\frac12 \sum_{m=-N}^N b_m s^{(k+1)}_{2n+m}</math>
</center>
یا: 
<center>
<math>d^{(k)}(Z):=(\downarrow 2)(b^*(Z)\cdot s^{(k+1)}(Z))</math>
</center>
[[پرونده:Wavelets_-_Filter_Bank.png|thumb|400px|اعمال بانک فیلتر به صورت بازگشتی]]
که <math>(\downarrow 2)</math> عملگر [[زیرنمونه‌گیری]] است و در [[تبدیل زد|فضای زد]] به صورت [[سری لوران]] ضرایب با اندیس زوج تعریف می‌شود:
<center>
<math>(\downarrow 2)(c(Z))=\sum_{k\in\Z}c_{2k}Z^k</math>
</center>
بدین ترتیب:
<center>
<math>P_k[f](x):=\sum_{n\in\Z} s^{(k)}_n\,\phi(2^kx-n)</math>
</center>
که حاصل جمعِ بالا برابر با تصویر سیگنال <math>P_k[f](x)</math> بر زیرفضای <math>V_k</math> است. در نتیجه:
<center>
<math>P_J[f](x)=P_k[f](x)+D_k[f](x)+\dots+D_{J-1}[f](x)</math>
</center>
که ضرایب جزئی برابرند با: 
<center>
<math>D_k[f](x):=\sum_{n\in\Z} d^{(k)}_n\,\psi(2^kx-n)</math>
</center>
که <math>\psi</math> [[موجک مادر]] نامیده می‌شود.

[[رده:موجک‌ها]]
[[رده:تبدیل‌های گسسته]]