نمایش مبدأ برای باریکه گاوسی

[[پرونده:Gaussian_beam_w40mm_lambda30mm.png|چپ|بندانگشتی| مقدار ''مطلق'' آنی بخش حقیقی دامنه میدان الکتریکی یک باریکه گاوسی TEM<sub>00</sub>، ناحیه کانونی. درحال نمایش <math>|\mathcal{Re}(E(t_1))|</math> بنابراین با ''دو'' قله برای هر [[جبهه موج]] مثبت .]]
[[پرونده:Laser_gaussian_profile.svg|چپ|بندانگشتی| بالا: نیم‌نمای شدت عرضی یک باریکه گاوسی که در خارج از صفحه منتشر می‌شود. منحنی آبی: دامنه میدان الکتریکی (یا مغناطیسی) برحسب موقعیت شعاعی از محور باریکه. منحنی سیاه شدت متناظر است.]]
[[پرونده:Green_laser_pointer_TEM00_profile.JPG|چپ|بندانگشتی| نمایه باریکه [[اشاره‌گر لیزری]] سبز رنگ ۵ میلی‌واتی که نیم‌نمای TEM<sub>00</sub> را نشان می‌دهد.]]
در [[نورشناسی|اپتیک]]، '''باریکه گاوسی''' {{به انگلیسی|Gaussian beam}} [[نورد نور|باریکه‌ای]] از [[تابش الکترومغناطیسی]] با [[تک‌فام|تک‌فامی]] بالا است که [[پوش (امواج)|پوش دامنه]] آن در صفحه عرضی با [[تابع گاوسی]] به دست می‌آید. این همچنین دلالت بر نمایه [[چگالی تابش|شدت]] ([[چگالی تابش]]) گاوسی دارد. این مُد گاوسی [[مُد عرضی|عرضی]] اصلی (یا TEM<sub>00</sub>) خروجی مورد نظر اکثر [[لیزر]]ها (و نه همه) را توصیف می‌کند، زیرا چنین باریکه‌ای می‌تواند به متمرکزترین نقطه متمرکز شود. هنگامی که چنین باریکه‌ای توسط یک [[عدسی]] مجدداً فوکوس می‌شود، وابستگی ''فاز'' عرضی تغییر می‌کند. این منجر به یک باریکه گاوسی ''متفاوت'' می‌شود. نیم‌نمای دامنه میدان [[میدان الکتریکی|الکتریکی]] و [[میدان مغناطیسی|مغناطیسی]] در امتداد هر باریکه دایره‌ای گاوسی (برای [[طول‌موج]] و [[قطبش (موج‌ها)|قطبش]] معین) توسط یک تک پارامتر مشخص می‌شود: به اصطلاح [[باریکه گاوسی#کمر باریکه|کمر]] {{ریاضی|''w''<sub>0</sub>}}. در هر موقعیت {{Mvar|z}} نسبت به کمر (تمرکز) در امتداد باریکه با {{ریاضی|''w''<sub>0</sub>}} مشخص‌شده، دامنه و فازهای میدان بدینوسیله<ref name="svelto153">Svelto, pp. 153–5.</ref> به شرح زیر تعیین می‌شوند.

راه‌حل‌های دلخواه [[معادله هلمهولتز|معادله هلمهولتز پیرامحوری]] را می‌توان به صورت ترکیبی از مدهای هرمیتی-گاوسی (که نیم‌نماهای دامنه با استفاده از [[دستگاه مختصات دکارتی|مختصات دکارتی]] در x و y تفکیک‌پذیر هستند)، مدهای لاگر-گاوسی (که نیم‌نماهای دامنه در [[دستگاه مختصات استوانه‌ای|مختصات استوانه‌ای]] r و θ تفکیک‌پذیر هستند) بیان کرد. یا به‌طور مشابه به‌عنوان ترکیبی از مدهای اینس-گاوسی (که نمایه‌های دامنه در ξ و η با استفاده از [[دستگاه مختصات دایرةالبروجی|مختصات بیضوی]] تفکیک‌پذیر هستند).<ref name="siegman642">Siegman, p. 642.</ref><ref name="goubau">probably first considered by Goubau and Schwering (1961).</ref><ref name="ince-beams">Bandres and Gutierrez-Vega (2004)</ref>

== فرم ریاضی ==
[[پرونده:Gaussian-beam_intensity_surfaceplot.png|بندانگشتی| نمایه باریکهٔ گاوسی با {{ریاضی|''w''<sub>0</sub> {{=}} ۲''λ''}} .]]
باریکه گاوسی یک [[مد عرضی|مد الکترومغناطیسی عرضی (TEM)]] است.<ref name="svelto158">Svelto, p. 158.</ref> عبارت ریاضی دامنه میدان الکتریکی جوابی برای [[معادله هلمهولتز|معادله هلمهولتز پیرامحوری]] است.<ref name="svelto153">Svelto, pp. 153–5.</ref> با فرض قطبش در جهت {{Mvar|x}} و انتشار در جهت {{ریاضی|+''z''}}، میدان الکتریکی در [[فازور|نماد فازور]] (مختلط) به صورت زیر به‌دست می‌آید:<math display="block">{\mathbf E(r,z)} = E_0 \, \hat{\mathbf x} \, \frac{w_0}{w(z)}
\exp \left( \frac{-r^2}{w(z)^2}\right )
\exp \left(\! -i \left(kz +k \frac{r^2}{2R(z)} - \psi(z) \right) \!\right)</math>که<ref name="svelto153">Svelto, pp. 153–5.</ref>
* {{Mvar|r}} فاصله شعاعی از محور مرکزی باریکه است،
* {{Mvar|z}} فاصله محوری از کانون باریکه (یا "کمر") است.
* {{Mvar|i}} [[یکه موهومی]] است،
* {{ریاضی|1=''k'' = ۲''πn''/''λ''}} [[عدد موج]] (برحسب [[رادیان]] بر متر) برای طول موج فضای آزاد λ است و n [[ضریب شکست]] محیطی است که باریکه در آن منتشر می‌شود،
* {{ریاضی|1=''E''<sub>0</sub> = ''E''(0, 0)}}, دامنه میدان الکتریکی (و فاز) در مبدأ (r = ۰، z = ۰)،
* {{ریاضی|''w''(''z'')}} شعاعی است که در آن دامنه میدان به {{math|1/''e''}} از مقادیر محوری خود می‌رسد (یعنی جایی که مقادیر شدت به {{math|1/''e''<sup>2</sup>}} از مقادیر محوری خود می‌رسد)، در صفحه z در امتداد باریکه،
* {{ریاضی|1=''w''<sub>0</sub> = ''w''(0)}} شعاع کمر است،
* {{ریاضی|''R''(''z'')}} شعاع انحنای [[جبهه موج]] باریکه در z است و
* {{ریاضی|''ψ''(''z'')}} فاز گویی در z است، جمله فاز اضافی فراتر که مربوط به [[سرعت فاز]] نور است.

همچنین یک وابستگی زمانی قابل درک وجود دارد {{ریاضی|''e''<sup>''iωt''</sup>}} کمیت‌های [[فازور|فازوری]] را ضرب می‌کند. میدان واقعی در یک نقطه از زمان و مکان توسط [[عدد مختلط|بخش حقیقی]] آن کمیت مختلط به‌دست می‌آید. این عامل زمان شامل یک [[قرارداد علامت]] دلخواه است.

از آنجایی که این جواب به تقریب پیرامحوری {{به انگلیسی|paraxial}} متکی است، برای باریکههای بسیار واگرا دقیق نیست. فرم فوق در بیشتر موارد عملی معتبر است، جایی که {{ریاضی|''w''<sub>0</sub> ≫ ''λ''/''n''}}.

توزیع [[شدت]] (یا [[چگالی تابش]]) مربوطه توسط<math display="block"> I(r,z) = {|E(r,z)|^2 \over 2 \eta } = I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2r^2}{w(z)^2}\right),</math>که در آن ثابت {{Mvar|η}} [[امپدانس موج]] محیطی است که باریکه در آن منتشر می‌شود. برای فضای آزاد، {{ریاضی|1=''η'' = [[Impedance of free space|''η''<sub>0</sub>]]}} ≈ ۳۷۷ Ω. {{ریاضی|1=''I''<sub>0</sub> = {{mabs|''E''<sub>0</sub>}}<sup>2</sup>/2''η''}} شدت در مرکز باریکه در کمر آن است.

اگر {{ریاضی|''P''<sub>0</sub>}} [[توان (فیزیک)|توان]] کل باریکه باشد،<math display="block">I_0 = {2P_0 \over \pi w_0^2}.</math>

=== عرض باریکه درحال‌گسترش ===
[[File:Gaussian_Beam_FWHM.gif|بندانگشتی| [[تابع گاوسی]] دارای قطر {{ریاضی|1/''e''<sup>2</sup>}} ({{ریاضی|2''w''}} همان‌طور که در متن استفاده شده‌است) حدود ۱٫۷ برابر [[پهنا در نصف مقدار بیشینه|اف‌دبلیواچ‌ام]] است.]]
در موقعیت {{Mvar|z}} در امتداد باریکه (اندازه‌گیری شده از کانون)، پارامتر اندازه نقطه {{Mvar|w}} توسط یک [[هذلولی|رابطه هذلولی]] داده می‌شود:<ref name="svelto153">Svelto, pp. 153–5.</ref><math display="block">w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right)}^2 },</math>در اینجا<ref name="svelto153">Svelto, pp. 153–5.</ref><math display="block">z_\mathrm{R} = \frac{\pi w_0^2 n}{\lambda}</math>این [[طول ریلی|محدوده ریلی]] نامیده می‌شود و <math>n</math> ضریب شکست محیط است.

شعاع باریکه {{ریاضی|''w''(''z'')}}، در هر موقعیت {{Mvar|z}} در امتداد باریکه، مربوط به [[پهنا در نصف مقدار بیشینه|پهنا کل در در نصف بیشینه]] (FWHM) توزیع شدت در آن موقعیت بر اساس:<ref name="zemax">{{Cite web|url=http://www.zemax.com/support/resource-center/knowledgebase/how-to-convert-fwhm-measurements-to-1-e-squared-ha|title=How to Convert FWHM Measurements to 1/e-Squared Halfwidths|first=Dan|last=Hill|date=April 4, 2007|website=Radiant Zemax Knowledge Base|accessdate=June 7, 2016|archive-date=۴ مارس ۲۰۱۶|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304035034/http://www.zemax.com/support/resource-center/knowledgebase/how-to-convert-fwhm-measurements-to-1-e-squared-ha|dead-url=yes}}</ref> <math display="block">w(z)={\frac {\text{FWHM}(z)}{\sqrt {2\ln2}}}.</math>

=== فاز گویی ===
''فاز [[لوئی ژرژ گوی|گویی]]'' یک پیشروی فاز است که به تدریج توسط یک باریکه در اطراف ناحیه کانونی به‌دست می‌آید. در موقعیت {{Mvar|z}} فاز گویی یک باریکه گاوسی اساسی به‌دست می‌آید با <math display="block">\psi(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right).</math>
[[پرونده:Bildschirmfoto_2020-07-05_um_12.50.52.png|بندانگشتی| فاز گویی.]]

== پارامترهای باریکه ==
وابستگی هندسی میدان‌های یک باریکه گاوسی توسط طول‌موج نور {{Mvar|λ}} (''در'' محیط دی‌الکتریک، اگر فضای آزاد نباشد) و '''پارامترهای باریکه''' زیر کنترل می‌شود

=== کمر باریکه ===
[[پرونده:GaussianBeamWaist.svg|چپ|بندانگشتی| پهنای باریکه گاوسی {{ریاضی|''w''(''z'')}} به عنوان تابعی از فاصله {{Mvar|z}} در امتداد باریکه، که [[هذلولی]] را تشکیل می‌دهد. {{ریاضی|''w''<sub>0</sub>}}: کمر باریکه؛ {{Mvar|b}}: عمق تمرکز؛ {{ریاضی|''z''<sub>R</sub>}}: [[طول ریلی|محدوده رایلی]]. {{Mvar|Θ}}: پخش زاویه کل ]]
شکل یک باریکه گاوسی با طول موج معین {{Mvar|λ}} تنها توسط یک پارامتر کنترل می‌شود، ''کمر'' ''باریکه'' {{ریاضی|''w''<sub>0</sub>}}.

=== محدوده ریلی و پارامتر هم‌کانونی ===
''فاصله ریلی'' یا ''محدوده ریلی'' {{ریاضی|''z''<sub>R</sub>}} با توجه به اندازه کمر باریکه گاوسی تعیین می‌شود:<math display="block">z_\mathrm{R} = \frac{\pi w_0^2 n}{\lambda}.</math>در اینجا {{Mvar|λ}} طول موج نور و {{Mvar|n}} ضریب شکست است. در فاصله ای از کمر برابر با محدوده ریلی {{ریاضی|''z''<sub>R</sub>}}، عرض {{Mvar|w}} باریکه {{ریاضی|{{sqrt|2}}}} بزرگتر از آن است که در کانون {{ریاضی|1=''w'' = ''w''<sub>0</sub>}}، کمر باریکه قرار دارد. این همچنین به این معنی است که شدت روی محور ({{ریاضی|1=''r'' = ۰}}) یک نیمی از شدت اوج (در {{ریاضی|1=''z'' = ۰}}) است. آن نقطه در امتداد باریکه نیز اتفاقاً جایی است که انحنای جبهه موج ({{ریاضی|1/''R''}}) بیشترین است.<ref name="svelto153">Svelto, pp. 153–5.</ref>

فاصله بین دو نقطه {{ریاضی|1=''z'' = ±''z''<sub>R</sub>}} ''پارامتر هم‌کانونی'' یا ''عمق تمرکز'' باریکه نامیده می‌شود.<ref>{{Cite journal|last=Brorson|first=S.D.|date=1988|title=What is the confocal parameter?|url=https://ieeexplore.ieee.org/document/155|journal=IEEE Journal of Quantum Electronics|volume=24|issue=3|pages=512–515|bibcode=1988IJQE...24..512B|doi=10.1109/3.155}}</ref>

=== واگرایی باریکه ===
اگرچه دم یک تابع گاوسی در واقع هرگز به صفر نمی‌رسد، برای اهداف بحث زیر "لبه" یک باریکه شعاع در نظر گرفته می‌شود که {{ریاضی|1=''r'' = ''w''(''z'')}}. اینجاست که شدت به {{ریاضی|1/''e''<sup>2</sup>}} مقدار روی محور آن کاهش یافته‌است. اکنون برای {{ریاضی|''z'' ≫ ''z''<sub>R</sub>}} پارامتر {{ریاضی|''w''(''z'')}} به صورت خطی با {{Mvar|z}} افزایش می‌یابد. این بدان معنی است که دور از کمر، باریکه "لبه" (به معنای بالا) مخروطی شکل است. زاویه بین آن مخروط (که {{ریاضی|1=''r'' = ''w''(''z'')}}) و محور باریکه ({{ریاضی|''r'' {{=}} ۰}}) ''واگرایی'' باریکه را مشخص می‌کند:<math display="block">\theta = \lim_{z\to\infty} \arctan\left(\frac{w(z)}{z}\right).</math>در حالت پیرامحوری، همان‌طور که در نظر گرفتیم، {{Mvar|θ}} (بر حسب رادیان) تقریباً<ref name="svelto153">Svelto, pp. 153–5.</ref> است.<math display="block">\theta = \frac{\lambda}{\pi n w_0}</math>که در آن {{Mvar|n}} ضریب شکست محیطی است که باریکه در آن منتشر می‌شود و {{Mvar|λ}} طول موج فضای آزاد است. سپس کل گستردگی زاویه ای باریکه واگرا، یا ''زاویه راس'' مخروط توصیف شده در بالا، با<math display="block">\Theta = 2 \theta\, .</math>سپس آن مخروط حاوی ۸۶ درصد از کل توان باریکه گاوسی است.

== توان و شدت ==
=== توان از طریق دریچه ===
با باریکهی متمرکز بر [[اپرچر|دریچه]]، [[توان (فیزیک)|توان]] {{Mvar|P}} که از دایره‌ای به شعاع {{Mvar|r}} در صفحه عرضی در موقعیت {{Mvar|z}} می‌گذرد، است:<ref name="melles griot">{{یادکرد وب |نشانی=http://www.pa.msu.edu/courses/2010fall/phy431/PostNotes/PHY431-Notes-GaussianBeamOptics.pdf |عنوان=Melles Griot. Gaussian Beam Optics |بازبینی=۱ ژوئن ۲۰۲۳ |archive-date=۴ مارس ۲۰۱۶ |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304031525/http://www.pa.msu.edu/courses/2010fall/phy431/PostNotes/PHY431-Notes-GaussianBeamOptics.pdf |dead-url=yes }}</ref><math display="block">P(r,z) = P_0 \left[1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right],</math>دراینجا<math display="block">P_0 = \frac{ 1 }{ 2 } \pi I_0 w_0^2</math>کل توان منتقل شده توسط باریکه است.

برای دایره ای با شعاع {{ریاضی|1=''r'' = ''w''(''z'')}}، کسر توان منتقل شده از دایره برابر است با<math display="block">\frac{P(z)}{P_0} = 1 - e^{-2} \approx 0.865.</math>به‌طور مشابه، حدود ۹۰٪ از توان باریکه از طریق یک دایره با شعاع {{ریاضی|1=''r'' = ۱٫۰۷ × ''w''(''z'')}}، ۹۵٪ از طریق یک دایره با شعاع {{ریاضی|1=''r'' = ۱٫۲۲۴ × ''w''(''z'')}} و ۹۹٪ از طریق یک دایره با شعاع {{ریاضی|1=''r'' = ۱٫۵۲ × ''w''(''z'')}} جریان می‌یابد.<ref name="melles griot"/>

=== شدت اوج ===
شدت اوج در فاصله محوری {{Mvar|z}} از کمر باریکه را می‌توان به عنوان حد توان محصور در دایره ای به شعاع {{Mvar|r}} محاسبه کرد که با کوچک شدن دایره بر مساحت دایره {{ریاضی|''πr''<sup>2</sup>}} تقسیم می‌شود:<math display="block">I(0,z) = \lim_{r\to 0} \frac {P_0 \left[1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {\pi r^2} .</math>محدودیت را می‌توان با استفاده از [[قاعده هوپیتال]] ارزیابی کرد:<math display="block">I(0,z)
= \frac{P_0}{\pi} \lim_{r\to 0} \frac { \left[-(-2)(2r) e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {w^2(z)(2r)}
     = {2P_0 \over \pi w^2(z)} .</math>

== جستارهای وابسته ==
* [[باریکه بسلی]]
* [[باریکه توپات]]
* [[نمایه باریکه لیزر]]
* [[شبه اپتیک]]

== یادداشت ==
{{چپ‌چین}}
{{پانویس|۲}}
{{پایان چپ‌چین}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* {{cite journal|last1=Bandres|first1=Miguel A.|last2=Gutierrez-Vega|first2=Julio C.|year=2004|title=Ince Gaussian beams|url=http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?URI=ol-29-2-144|journal=Opt. Lett.|publisher=OSA|volume=29|issue=2|pages=144–146|bibcode=2004OptL...29..144B|doi=10.1364/OL.29.000144|pmid=14743992}}
* {{cite book|title=Classical Electromagnetism in a Nutshell|url=https://archive.org/details/classicalelectro0000garg|last=Garg|first=Anupam|publisher=Princeton University Press|location=Princeton, N.J.|year=2012|isbn=978-0-691-13018-7}}
* {{cite journal|author1=Goubau, G.|author2=Schwering, F.|year=1961|title=On the guided propagation of electromagnetic wave beams|journal=IRE Trans.|volume=9|issue=3|pages=248–256|bibcode=1961ITAP....9..248G|doi=10.1109/TAP.1961.1144999|mr=0134166}}
* {{cite journal|last1=Karimi|first1=E.|last2=Zito|first2=G.|last3=Piccirillo|first3=B.|last4=Marrucci|first4=L.|last5=Santamato|first5=E.|year=2007|title=Hypergeometric-Gaussian beams|url=http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?URI=ol-32-21-3053|journal=Opt. Lett.|publisher=OSA|volume=32|issue=21|pages=3053–3055|arxiv=0712.0782|bibcode=2007OptL...32.3053K|doi=10.1364/OL.32.003053|pmid=17975594|s2cid=46526713}}
* {{cite book|title=Optical Coherence and Quantum Optics|url=https://archive.org/details/opticalcoherence0000mand|last1=Mandel|first1=Leonard|last2=Wolf|first2=Emil|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|year=1995|isbn=0-521-41711-2}} Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.
* {{cite arXiv|author=Pampaloni, F.|author2=Enderlein, J.|title=Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer|year=2004|eprint=physics/0410021}}
* {{cite journal|last1=Sakpal|first1=S.|last2=Milione|first2=G.|last3=Li|first3=M.|last4=Nouri|first4=M.|last5=Shahoei|first5=H.|last6=LaFave|first6=T.|last7=Ashrafi|first7=S.|last8=MacFarlane|first8=D.|year=2018|title=Stability of Ince-Gaussian beams in elliptical core few-mode fibers|url=https://opg.optica.org/ol/fulltext.cfm?uri=ol-43-11-2656&id=390006|journal=Opt. Lett.|volume=43|issue=11|pages=2656–2659|bibcode=2018OptL...43.2656S|doi=10.1364/OL.43.002656|pmid=29856389|s2cid=46921059}}
* {{cite book|title=Fundamentals of Photonics|last1=Saleh|first1=Bahaa E. A.|last2=Teich|first2=Malvin Carl|publisher=John Wiley & Sons|location=New York|year=1991|isbn=0-471-83965-5}} Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.
* {{cite book|first=Anthony E.|last=Siegman|year=1986|title=Lasers|url=https://archive.org/details/lasers0000sieg|url-access=registration|publisher=University Science Books|isbn=0-935702-11-3}} Chapter 16.
* {{cite book|first=Orazio|last=Svelto|title=Principles of Lasers|edition=5th|year=2010}}
* {{cite book|first=Amnon|last=Yariv|year=1989|title=Quantum Electronics|url=https://archive.org/details/quantumelectroni0000yari_v5b8|edition=3rd|publisher=Wiley|isbn=0-471-60997-8}}

{{پایان چپ‌چین}}
== پیوند به بیرون ==
* [http://www.newport.com/Gaussian-Beam-Optics/144899/1033/content.aspx آموزش اپتیک باریکه گاوسی، نیوپورت]
{{لیزر}}
[[رده:تابش الکترومغناطیسی]]
[[رده:دانش لیزر]]
[[رده:صفحه‌های با ترجمه بازبینی‌نشده]]
[[رده:نورشناسی فیزیکی]]