نمایش مبدأ برای انتگرال فرینل

[[پرونده:Fresnel Integrals (Unnormalised).svg|250px|بندانگشتی|
نمودارهای <span style="color:#b30000">''S''(''x'')</span> و <span style="color:#00b300">''C''(''x'')</span>. بیشینه‌ی ''C''(''x'') تقریباً برابر 0.977451424 است.]]
'''انتگرال‌های فرینل'''، S(x) و C(x) دو [[تابع غیرجبری]] هستند که به نام [[اگوستن-ژان فرینل]] نام‌گذاری شده‌اند. این تابع با [[تابع خطا]] ارتباط نزدیکی دارد. این انتگرال‌ها در اپتیک (مثلاً تقریب فرینل) کاربرد دارند.
== تعریف ==
این انتگرال‌ها چنین تعریف می‌شوند:
<math>
\begin{align}
S(x) & =\int_0^x \sin(t^2)\,\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)} \\[6pt]
C(x) & =\int_0^x \cos(t^2)\,\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}
\end{align}
</math>
== ویژگی‌ها ==
[[پرونده:Fresnel-cos.png|چپ|بندانگشتی|300px|تابع فرینل مختلط ''C''(''z'')]]
[[پرونده:Fresnel-sin.png|چپ|بندانگشتی|300px|تابع فرینل مختلط S(z)]]
* توابع S(x) و C(x) تابع‌هایی فرد از x هستند.
* رفتار مجانبی این انتگرال‌ها در <math>x \to \infty</math> چنین است:
:: <math>
\begin{align}
S(x) & =\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\mbox{sign}{(x)}}{2} - \left[1+O(x^{-4}) \right] \left( \frac{\cos{(x^{2})}}{x \sqrt{2 \pi}} + \frac{\sin{(x^2)}}{ x^3 \sqrt{8 \pi}} \right) \right), \\[6pt]
C(x) & =\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\mbox{sign}{(x)}}{2} + \left[1+O(x^{-4}) \right] \left( \frac{\sin{(x^2)}}{x \sqrt{2 \pi}} - \frac{\cos{(x^{2})}}{ x^3 \sqrt{8 \pi}} \right) \right).
\end{align}
</math>
* این توابع بر حسب تابع خطا چنین قابل بیان هستند:

:: <math>
\begin{align}
S(z) & =\sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{1+i}{4} \left[ \operatorname{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right) -i \operatorname{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right) \right], \\[6pt]
C(z) & =\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1-i}{4} \left[ \operatorname{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right) + i \operatorname{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right) \right].
\end{align}
</math>

یا
:: <math>
\begin{align}
C(z) + i S(z) & = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1+i}{2} \operatorname{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right), \\[6pt]
S(z) + i C(z) & = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1+i}{2} \operatorname{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right).
\end{align}
</math>

== منابع ==
{{یادکرد-ویکی
|پیوند = https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fresnel_integral&oldid=758466143
|عنوان = Fresnel Integral
|زبان = en
|بازیابی = ۲۲/۴/۲۰۱۷
}}
{{پانویس}}

[[رده:تابع تحلیلی]]
[[رده:توابع فوق‌هندسی مخصوص]]
[[رده:توابع خاص]]
[[رده:حساب انتگرال]]
[[رده:فیزیک نور]]
[[رده:مارپیچ‌ها]]
[[رده:پراش نور]]
[[رده:نورشناسی فیزیکی]]