نمایش مبدأ برای انباشتک

در [[نظریه احتمالات]] و [[آمار]]، '''انباشتک''' یا {{mvar|κ<sub>n</sub>}} یک [[توزیع احتمال]] عبارت است از مجموعه ای از کمیت‌هایی که جایگزینی برای [[گشتاور (ریاضی)|گشتاور]] توزیع ارائه می‌کند.

انباشتک‌های یک متغیر تصادفی ''X'' را می‌توان با استفاده از '''تابع مولد انباشتک''' یا ''{{عبارت چپچین|K(t)}}'' تعریف کرد. این تابع، [[لگاریتم طبیعی]] [[تابع مولد گشتاور]] است. در رابطهٔ زیر ''{{عبارت چپچین|M(t)}}'' تابع مولد گشتاور است.
:<math> M(t)  = \operatorname{E}\left[e^{tX}\right]  =  <e^{tX}>. </math>
<math> M(t)</math> را می‌توان به صورت <math>exp[K(t)]</math> نوشت. با گرفتن لگاریتم طبیعی از دو طرف خواهیم داشت:
:<math>K(t)=\log\operatorname{E}\left[e^{tX}\right].</math>
انباشتک‌های {{mvar|κ<sub>n</sub>}} از بسط سری‌های توانی به صورت زیر بدست می‌آید:
:<math>K(t)=\sum_{n=1}^\infty \kappa_{n} \frac{t^{n}}{n!} = \mu t + \sigma^2 \frac{t^2}{2} + \cdots.</math>
این بسط، یک [[بسط تیلور]] است بنابراین n-امین انباشتک را می‌توان از مشتق n-ام عبارت بالا و برابر قرار دادن با صفر بدست آورد:<ref>Weisstein, Eric W. "Cumulant". From MathWorld – A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cumulant.html</ref>

:<math> \kappa_{n} = K^{(n)}(0).</math>
== برخی ویژگی‌ها ==
ویژگی‌های زیر به ازای هر ثابت ''c'' دلخواه برقرار است:
=== [[ناوردا]] ===
رابطهٔ زیر برقرار است:
{{چپ‌چین}}
* <math>\kappa_1(X + c) = \kappa_1(X) + c ~ \text{ and}</math>
* <math>\kappa_n(X + c) = \kappa_n(X) ~ \text{ for } ~ n \ge 2.</math>
{{پایان چپ‌چین}}

=== همگنی ===
n امین انباشتک از درجهٔ n همگن است:
:<math>\kappa_n(cX)=c^n\kappa_n(X).</math>
=== جمع پذیری ===
اگر X و Y [[متغیرهای تصادفی مستقل]] باشند آنگاه {{math|1=''κ''<sub>''n''</sub>(''X''&nbsp;+&nbsp;''Y'') =&nbsp;''κ''<sub>''n''</sub>(''X'')&nbsp;+&nbsp;''κ''<sub>''n''</sub>(''Y'')}}.
=== انباشتک‌ها و گشتاورها ===
اگر [[تابع مولد گشتاور]] به صورت زیر باشد:
: <math>M(t) = 1+\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu'_n t^n}{n!} = \exp \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{\kappa_n t^n}{n!}\right) = \exp(K(t)).</math>
بنابراین تابع مولد انباشتک می‌شود لگاریتم تابع مولد گشتاور:
:<math>K(t) = \log M(t).</math>
عبارت‌ها چنین نوشته می‌شود:
: <math>
\begin{align}
\mu'_1 = {} & \kappa_1 \\[5pt]
\mu'_2 = {} & \kappa_2+\kappa_1^2 \\[5pt]
\mu'_3 = {} & \kappa_3+3\kappa_2\kappa_1+\kappa_1^3 \\[5pt]
\mu'_4 = {} & \kappa_4 + 4\kappa_3\kappa_1 + 3\kappa_2^2 + 6\kappa_2\kappa_1^2 + \kappa_1^4 \\[5pt]
\mu'_5 = {} & \kappa_5+5\kappa_4\kappa_1+10\kappa_3\kappa_2 + 10\kappa_3\kappa_1^2 + 15\kappa_2^2\kappa_1 + 10\kappa_2\kappa_1^3 + \kappa_1^5 \\[5pt]
\mu'_6 = {} & \kappa_6 + 6\kappa_5\kappa_1 + 15\kappa_4\kappa_2 + 15\kappa_4\kappa_1^2 + 10\kappa_3^2 + 60\kappa_3\kappa_2\kappa_1 + 20\kappa_3\kappa_1^3 \\
& {} + 15\kappa_2^3 + 45\kappa_2^2\kappa_1^2 + 15\kappa_2\kappa_1^4 + \kappa_1^6.
\end{align}
</math>
== منابع ==
{{پانویس}}
{{نظریه توزیع‌های احتمال}}
[[رده:گشتاور (ریاضی)]]