انباشتک

در نظریه احتمالات و آمار، انباشتک یا الگو:Mvar یک توزیع احتمال عبارت است از مجموعه ای از کمیت‌هایی که جایگزینی برای گشتاور توزیع ارائه می‌کند.

انباشتک‌های یک متغیر تصادفی X را می‌توان با استفاده از تابع مولد انباشتک یا الگو:عبارت چپچین تعریف کرد. این تابع، لگاریتم طبیعی تابع مولد گشتاور است. در رابطهٔ زیر الگو:عبارت چپچین تابع مولد گشتاور است.

$M(t)=\mathrm{E}\left[e^{tX}\right]=<e^{tX}>.$

$M(t)$ را می‌توان به صورت $exp[K(t)]$ نوشت. با گرفتن لگاریتم طبیعی از دو طرف خواهیم داشت:

$K(t)=\log \mathrm{E}\left[e^{tX}\right].$

انباشتک‌های الگو:Mvar از بسط سری‌های توانی به صورت زیر بدست می‌آید:

$K(t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\kappa }_n\frac{t^n}{n!}=\mu t+{\sigma }^2\frac{t^2}{2}+\cdots .$

این بسط، یک بسط تیلور است بنابراین n-امین انباشتک را می‌توان از مشتق n-ام عبارت بالا و برابر قرار دادن با صفر بدست آورد:

${\kappa }_n=K^{(n)}(0).$

برخی ویژگی‌ها

ویژگی‌های زیر به ازای هر ثابت c دلخواه برقرار است:

ناوردا

رابطهٔ زیر برقرار است: الگو:چپ‌چین

• ${\kappa }_1(X+c)={\kappa }_1(X)+c\text{ and}$
• ${\kappa }_n(X+c)={\kappa }_n(X)\text{ for }n\ge 2.$

همگنی

n امین انباشتک از درجهٔ n همگن است:

${\kappa }_n(cX)=c^n{\kappa }_n(X).$

جمع پذیری

اگر X و Y متغیرهای تصادفی مستقل باشند آنگاه الگو:Math.

انباشتک‌ها و گشتاورها

اگر تابع مولد گشتاور به صورت زیر باشد:

$M(t)=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu {\text{'}}_n{t}^n}{n!}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\kappa }_n{t}^n}{n!}\right)=\exp (K(t)).$

بنابراین تابع مولد انباشتک می‌شود لگاریتم تابع مولد گشتاور:

$K(t)=\log M(t).$

عبارت‌ها چنین نوشته می‌شود:

$\begin{array}{cc}\mu {\text{'}}_1=& {\kappa }_1\\ \mu {\text{'}}_2=& {\kappa }_2+{\kappa }_1^2\\ \mu {\text{'}}_3=& {\kappa }_3+3{\kappa }_2{\kappa }_1+{\kappa }_1^3\\ \mu {\text{'}}_4=& {\kappa }_4+4{\kappa }_3{\kappa }_1+3{\kappa }_2^2+6{\kappa }_2{\kappa }_1^2+{\kappa }_1^4\\ \mu {\text{'}}_5=& {\kappa }_5+5{\kappa }_4{\kappa }_1+10{\kappa }_3{\kappa }_2+10{\kappa }_3{\kappa }_1^2+15{\kappa }_2^2{\kappa }_1+10{\kappa }_2{\kappa }_1^3+{\kappa }_1^5\\ \mu {\text{'}}_6=& {\kappa }_6+6{\kappa }_5{\kappa }_1+15{\kappa }_4{\kappa }_2+15{\kappa }_4{\kappa }_1^2+10{\kappa }_3^2+60{\kappa }_3{\kappa }_2{\kappa }_1+20{\kappa }_3{\kappa }_1^3\\ & +15{\kappa }_2^3+45{\kappa }_2^2{\kappa }_1^2+15{\kappa }_2{\kappa }_1^4+{\kappa }_1^6.\end{array}$