نمایش مبدأ برای *-جبر

{{ساختارهای جبری}}
در [[ریاضیات]]، و به طور خاص در [[جبر مجرد]]، یک '''*-جبر''' (یا '''جبر پیچشی''' {{به انگلیسی|Involutive Algebra}}، که به صورت "جبر ستاره ای"، "استار-الجبرا"، "استار-جبر" و... هم خوانده می شود) یک ساختار ریاضیاتیست که شامل [[حلقه (ریاضیات)|حلقه]] های پیچشی <math>R</math> و <math>A</math> است که <math>R</math> [[حلقه جابه‌جایی|جابجایی]] و <math>A</math> دارای ساختار [[جبر شرکتپذیر]] بر روی <math>R</math> است. جبرهای پیچشی تعمیم دهنده ایده دستگاه اعداد مجهز به مزدوج گیری است مثل: [[مزدوج مختلط]]، [[ترانهاد مزدوج|ترانهاده مزدوج]]، عملگرهای خطی روی [[فضای هیلبرت]] و [[الحاق هرمیتی]]. با این حال، ممکن است که یک جبر هیچ پیچشی نپذیرد (یعنی نتوان بر روی آن هیچ پیچشی تعریف نمود).

== تعاریف ==
{{نوارکناری نظریه حلقه‌ها}}

=== <nowiki>*-حلقه</nowiki> ===
در ریاضیات، یک '''*-حلقه'''، حلقه ای است که مجهز به نگاشت <math>*:A\rightarrow A</math> می باشد، که یک پاد-خودریختی و یک پیچش است.

به طور دقیق تر، * باید خواص زیر را برای تمام <math>x, y \in A</math>ارضاء نماید:<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/C-Star-Algebra.html|title=C-Star Algebra|website=Wolfram MathWorld|date=2015|first=Eric W.|last=Weisstein|authorlink=Eric W. Weisstein}}</ref>
* <math>(x+y)^* = x^* + y^*</math>
* <math>(xy)^*=y^*x^*</math>
* <math>1^*=1</math>
* <math>(x^*)^*=x</math>

به این حلقه '''حلقه پیچشی''' هم می گویند. توجه کنید که اصل سوم در اصل اضافی است، چون اصل دوم و چهارم نتیجه می دهند که <math>1^*</math> نیز یک همانی ضربی است و همانی ها منحصر به فردند.

عناصری چون {{math|1=''x''* = ''x''}} را خود-الحاقی خوانند.<ref name=":0">{{Cite web|url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node5.html|title=Octonions|date=2015|accessdate=27 January 2015|website=Department of Mathematics|publisher=University of California, Riverside|last=Baez|first=John|author-link=John Baez|archiveurl=https://www.webcitation.org/6XHaTVlBr?url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node5.html|archivedate=25 March 2015|url-status=live|df=}}</ref>

مثال های کهن الگو از یک *-حلقه، میدان [[عدد مختلط|اعداد مختلط]] و [[عدد جبری|اعداد جبری]] مجهز به مزدوج مختلط به عنوان پیچش اند. می توان فرم سسکوئی-خطی روی هر *-حلقه تعریف کرد.

همچنین، می توان *-نسخه هایی از اشیاء جبری چون ایده‌آل، زیر حلقه با شرط *-ناوردایی: <math>x\in I \rightarrow x^*\in I</math> و ... را نیز تعریف کرد.

=== <nowiki>*-جبر</nowiki> ===
یک '''*-جبر''' چون <math>A</math>، یک *-حلقه است،<ref>بسیاری از تعاریف الزامی برای یک دار بودن *-جبر ندارند، یعنی *-جبر می تواند صرفاً یک [[رونگ (جبر)|رونگ]] باشد.</ref> که مجهز به پیچش * بوده چنان که جبر شرکت پذیر روی *-حلقه جابجایی <math>R</math> با پیچش ` باشد، چنان که داشته باشیم:

<math>(rx)^* = r'x^* \forall{r}\in R, x\in A</math><ref>{{nlab|id=star-algebra}}</ref>

<nowiki>*</nowiki>-حلقه پایه اغلب اعداد مختلط اند (که * به عنوان مزدوجه مختلط عمل می کند).

از اصول موضوعه ها نتیجه می شود که * روی <math>A</math> در <math>R</math> مزدوج-خطی است، یعنی برای <math>\lambda, \mu\in R</math> و <math>x, y\in A</math>:

<math>(\lambda x+\mu y)^*=\lambda ' x* + \mu ' y*</math>

یک '''*-همریختی''' <math>f\colon A\rightarrow B</math>، [[هم‌ریختی|همریختی]] جبری است، یعنی با پیچش های <math>A</math> و <math>B</math> سازگار است:
* برای هر <math>a\in A</math> داریم <math>f(a^*)=f(a)^*</math><ref name=":0"/>

=== فلسفه *-عمل ===

<nowiki>*</nowiki> -عمل روی *-حلقه مشابه عمل مزدوج گیری روی اعداد مختلط است. *-عمل روی *-جبر مشابه الحاق گیری روی جبرهای ماتریسی مختلط است.

=== نمادگذاری ===
پیچش * یک عملگر تکی است به صورت های زیر نمایش داده می شوند:

: {{math|size=120%|''x'' ↦ ''x''*}}،
: {{math|size=120%|''x'' ↦ ''x''<sup>∗</sup>}} ([[تک (نرم‌افزار)|TeX]]: <code>x^*</code>)

اما به صورت "x*" نوشته نمی‌شود؛ مقاله [[ستاره (نشان‌گذاری)|ستاره]] را برای جزئیات بیشتر ببینید.

== پانویس ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند=https://en.wikipedia.org/wiki/*-algebra|عنوان=*-Algebra|زبان=انگلیسی}}

{{نظریه طیفی}}

[[رده:جبرها]]
[[رده:نظریه حلقه‌ها]]