پیش‌نویس:مدل تناسب (علم شبکه)

در نظریه شبکه پیچیده، مدل تناسب مدلی از تکامل و رشد یک شبکه در طول زمان ارائه می‌دهد. چگونگی اتصال بین راس‌ها در طول زمان به تناسب راس‌ها بستگی دارد. به طوری که راس‌های متناسب‌تر، سرعت بیشتری در برقراری اتصالات نسبت به راس‌های کمتر متناسب دارند و سایر راس‌ها ترجیح می‌دهند به این راس‌ها متصل شوند.

این مدل توصیف خوبی از ساختار شبکه‌های شبکه جهانی وب و شبکه ارجاع‌دهی مقالات ارائه می‌دهد.

توصیف مدل

این مدل بر اساس ایده تناسب است، یک عامل ذاتی که راس‌ها ممکن است داشته باشند و می‌تواند بر چگونگی و نرخ رشد شبکه تأثیر بگذارد. بر اساس این ایده، توانایی ذاتی راس‌ها برای جذب یال‌ها در شبکه از راسی به راس دیگر متفاوت است. راس‌های متناسب‌تر به علت این خاصیت ذاتی خود، برای رئوس دیگر جذاب‌تر هستند و احتمال وجود یال میان این راس‌ها با سایر رئوس بیشتر می‌شود. از این نظر، همه راس‌ها با هم یکسان نیستند و در هر مرحله از زمان، افزایش درجه‌شان بر اساس تناسب آن‌ها می‌باشد. مقدار تناسب راس‌های تشکیل‌دهنده شبکه یک توزیع $\rho (\eta )$ را تشکیل می‌دهد و به هر راس یک مقدار مشخص اختصاص داده می‌شود که چون این ویژگی ذاتی است، در فرایند رشد شبکه مقدار آن تغییر نمی‌کند و ثابت می‌ماند.

جینسترا بیانکونی و آلبرت-باراباسی مدل جدیدی به اسم مدل بیانکونی-باراباسی که یک نسخه متفاوت از مدل باراباسی-آلبرت است، ارائه دادند. در این مدل احتمال اتصال یک راس به راس دیگر به تناسب (برازش) آن راس بستگی دارد. در واقع احتمال آن که یک راس جدید به راس $i$ متصل شود برابر است با:

$\mathrm{\Pi }{}_i=\frac{\eta {}_{i}k{}_i}{\sum \eta {}_{j}k{}_j}$

که $\eta {}_i$ تناسب راس $i$ و $k{}_i$ درجه راس $i$ هستند. فرمول بالا تایید می‌کند که زمان در چگونگی رشد شبکه تاثیری ندارد و تناسب ثابتی ذاتی و مستقل از زمان است.

در این مدل، درجه راس در احتمال اتصال موثر است و هر چه درج راسی بالاتر باشد، راس جدید تمایل بیشتری برای اتصال به آن پیدا می‌کند (فرض کنیم مقدار تناسب آن‌ها برابر است). اما ممکن است اطلاعات کامل و دقیق درباره درجه هر راس شبکه، در دسترس راس جدید نباشد. بنابرین در چنین شبکه‌ای اتصال بین دو راس زمانی به‌وجود می‌آید که براساس خاصیت ذاتی آن‌ها (تناسب)، سودی به آن‌ها برسد. احتمال اتصال هر دو راس $i,j$ یک تابع متقارن از تناسب‌های آن‌ها $f(\eta {}_i,\eta {}_j)$ خواهد بود. این مدل جدید که تنها به تناسب رئوس وابسته است، توسط کالدارلی معرفی شد.

میانگین درجه یک راس $i$ با با تناسب $\eta {}_i$ به صورت زیر بدست می آید:

$f({\eta }_i,{\eta }_j)=\mathrm{\Theta }({\eta }_i+{\eta }_j-Z)$

اگر $k({\eta }_i)$ تابعی وارون‌پذیر و صعودی از ${\eta }_i$ باشد، تابع توزیع احتمال $P(k)$ از رابطه زیر بدست می آید:

$P(k)=\rho (\eta (k))\cdot {\eta }^{\prime }(k)$

در نتیجه اگر تناسب $\eta$ رئوس به عنوان یک توزیع توانی داشته باشند، پس درجه رئوس نیز از توزیع توانی پیروی می‌کنند. بنابرین این شبکه رفتار یک شبکه بی‌مقیاس را دارد. پس توزیغ تناسب‌های بی‌مقیاس، شبکه بی‌مقیاس تشکیل می‌دهند.

اگر توزیع تناسب یک توزیع احتمال در حال فروپاشی سریع که بی‌مقیاس نباشد مثل $\rho (\eta )=e^{-\eta }$ همراه با یک تابع از نوع

$k({\eta }_i)=N\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f({\eta }_i,{\eta }_j)\rho ({\eta }_j)d{\eta }_j$

با $Z$ ثابت و $\mathrm{\Theta }$ تابع پله‌ای یکه باشد، باز هم شبکه‌ی بی‌مقیاس بدست می‌آوریم. در واقع این توابع فرایندهایی را نشان می‌دهند که دو راس زمانی میانشان یال خواهد بود که جمع تناسب (برازش) آن‌ها بزرگ‌تر از آستانه $Z$ باشد. که این مشاهده نتیجه می‌دهد $P(k)\sim k^2$. پس توزیع تناسب‌هایی که بی‌مقیاس نیستند هم می‌توانند شبکه‌ی بی‌مقیاس تولید کنند.

چنین مدلی با موفقیت برای توصیف شبکه تجارت بین کشورها (راس‌ها) با استفاده از تولید ناخالص داخلی به عنوان تناسب استفاده شده است. تابع احتمال آن برای دو راس $i,j$ از نوع زیر است:

$\frac{\delta {\eta }_i{\eta }_j}{1+\delta {\eta }_i{\eta }_j}$

مدل تناسب و رشد و تکامل وب

مدل تناسب برای مدل سازی ساختار شبکه جهانی وب استفاده شده است. در یک مقاله آکادمی علوم آمریکا Kong et el مدل تناسب را به گونه‌ای گسترش داد که شامل حذف تصادفی یک راس، یک پدیده رایج در وب، باشد. هنگامی که میزان حذف صفحات وب محاسبه شد، دریافتند که توزیع تناسب به طور کلی نمایی است. با این حال، حتی این تفاوت کوچک در تناسب از طریق مکانیسم اتصال ترجیحی تقویت می‌شود و منجر به توزیع سنگین یال‌های ورودی در وب می‌شود.

همچنین ببینید

• تراکم بوز-اینشتین: رویکرد نظریه شبکه
• مدل باراباشی-آلبرت