پیش‌نویس:دستگاه دوگان

در ریاضیات ، دستگاه دوگان ، جفت دوگان یا دوگانگی روی یک میدانمانند $𝕂$ عبارت است از یک سه‌تایی مرتب مانند $(X,Y,b)$ که از دو فضای برداری $X$ و $Y$ بر فراز $𝕂$ تشکیل شده است و به یک نگاشت دوخطی غیر تبهگن به شکل $b:X\times Y\to 𝕂$ مجهز است.

نظریه دوگانگی در ریاضیات، به عبارت دیگر مطالعه سامانه‌های دوگان، جایگاه مهمی در تحلیل تابعی دارد و از طریق نظریه فضاهای هیلبرت ، کاربردهای گسترده ای در مکانیک کوانتومی دارد.

تعریف، نمادگذاری و قراردادها

جفت شدن

یک جفت روی یک میدان مانند $𝕂$ یک سه‌تایی مرتب مانند $(X,Y,b)$ یا به طور معادل به شکل $b(X,Y)$ است که از دو فضای برداری $X$ و $Y$ بر فراز $𝕂$ تشکیل شده و به یک نگاشت دو خطی مانند $b:X\times Y\to 𝕂$ مجهز است. همچنین به آن، نگاشت دوخطی مرتبط با جفتالگو:Sfn یا به صورت ساده‌تر نگاشت جفت‌کننده یا شکل دوخطی گفته می‌شود. برای سادگی، این مقاله فقط نمونه هایی را پوشش می دهد که در آن $𝕂$ یا اعداد حقیقی الگو:ریاضی است یا اعداد مختلط $ℂ$.

برای هر $x\in X$ ، تعريف می‌کنیم$$\begin{array}{cccccc}b(x,\cdot ):& Y& & \to & & 𝕂\\ & y& & \mapsto & & b(x,y)\end{array}$$و برای هر $y\in Y,$ تعريف می‌کنیم$$\begin{array}{cccccc}b(\cdot ,y):& X& & \to & & 𝕂\\ & x& & \mapsto & & b(x,y).\end{array}$$هر $b(x,\cdot )$ یک تابعی خطی روی فضای $Y$ و هر $b(\cdot ,y)$ یک تابعی خطی روی فضای $X$ است. قرار می دهیم

$b(X,\cdot ):=\{b(x,\cdot ):x\in X\}\text{ و }b(\cdot ,Y):=\{b(\cdot ,y):y\in Y\}$

که در آن هر یک از این مجموعه ها یک فضای برداری از تابعی‌های خطی تشکیل می دهند.

نوشتن $⟨x,y⟩$ بجای $b(x,y)$ در متون ریاضی رایج است. در این مورد اغلب ممکن است جفت‌شدگی به شکل $⟨X,Y⟩$ به جای $(X,Y,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ نشان داده شود. با این وجود، در این مقاله از $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ برای نگاشت برآورد کانونیک (تعریف شده در زیر) استفاده می شود تا از سردرگمی برای خوانندگانی که با این موضوع آشنا نیستند جلوگیری شود.