هم‌افزایی در رگرسیون

به‌طور کلی هم افزایی حالتی است که جمع تأثیر کل اعضا بیشتر از اثر جداگانهٔ هر کدام از آن‌ها می‌باشد.

هم افزایی در علم امار و یادگیری ماشین تأثیر بسیاری در تفسیر مدل‌ها دارد.

مسئله قرص لاغری و شربت لاغری

فرض می کنیم که برای کاهش وزن دو روش وجود دارد یکی استفاده از قرص لاغری و دیگری استفاده از شربت لاغری .

حال شما میتوانید برای کاهش وزن از قرص لاغری استفاده کنید و اثری معادل k1 کیلوگرم کاهش وزن در یک ماه داشته باشید و می توانید از شربت لاغری استفاده کنید و کاهش وزنی معادل با k2 کیلوگرم در یک ماه داشته باشید.

حال اگر شما همزمان از هر دو دارو استفاده کنید میتوان به کاهش وزنی بیش از k1+k2 کیلوگرم یا کمتر از آن رسید که این پدیده ناشی از تاثیرات دو قرص بر روی یکدگیر است که می توانند اثر یکدیگر را زیاد تر یا کمتر کنند و قرص لاغری و شربت لاغری بر روی یک دیگر اثر متقابل دارند .

مسئله فروش و تلویزیون و رادیو

فرض کنید ۱۰۰ هزار دلار بودجه در اختیار شرکتی تبلیغاتی می‌گذاریم و آن شرکت می‌تواند این ۱۰۰ هزار دلار را بین تبلیغ در تلویزیون و رادیو تقسیم کند و زمانی که این شرکت بودجه را بین تبلیغ در تلویزیون و رادیو تقسیم می‌کند بیش از زمانی فروش دارد که کل پول را صرف تبلیغ در تلویزیون یا رادیو کند.

در شکل فوق هم افزایی میان تاثیر تلویزیون و رادیو شرح داده شده است.

برای مثال در شکل زیر واضح است اختصاص دادن ۵۰ هزار دلار به تبلیغات تلویزیون و ۵۰ هزار دلار تبلیغ رادیو اثری بیشتر از ۱۰۰ هزار دلار بر هر کدام از این دو دارد و بالاتر (میزان فروش) از ابرصفحهٔ موجود قرار می‌گیرد در حالی که اختصاص دادن ۱۰۰ هزار دلار به هر کدام از تلویزیون یا رادیو پایین‌تر (میزان فروش) از ابرصفحه قرار می‌گیرد.

توضیح ریاضی

فرض کنید تأثیر فروش تلویزیون در تبلیغات را با ${\beta }_1$ و میزان فروش ان را با $X_1$ نشان دهیم و تأثیر فروش رادیو در تبلیغات را ${\beta }_2$ و میزان فروش ان را با $X_2$ و عرض از مبدأ را با ${\beta }_0$ حال میزان متغیر پاسخ ما برابر رابطه زیر می‌باشد: الگو:وسط‌چین $Y={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2$ الگو:پایان وسط‌چین حال اگر تأثیر میزان فروش رادیو در تلویزیون را در رابطه دخیل کنیم به رابطهٔ زیر می‌رسیم: الگو:وسط‌چین $Y={\beta }_0+({\beta }_1+{\beta }_3{X}_2)X_1+{\beta }_2{X}_2$ الگو:پایان وسط‌چین که ${\beta }_3$ میزان تأثیر فروش رادیو بر تلویزیون است. با ساده‌سازی از رابطه فوق به رابطه زیر می‌رسیم: الگو:وسط‌چین $Y={\beta }_0+{\beta }_1{X}_2+{\beta }_2{X}_2+{\beta }_3{X}_1{X}_2$ الگو:پایان وسط‌چین همان‌طور که در رابطهٔ فوق مشهود است متغیری در رابطه وجود دارد که حاصل ضرب میزان فروش تلویزیون و رادیو است که معادل تعریف هم افزایی در امار و یادگیری ماشین می‌باشد.

همینطور اگر p-مقدار هر کدام از متغیر های اولیه $X_1$ و $X_2$ را در ابتدا برسی کنیم عدد پایین تری را نشان می دهد که دال بر تاثیر زیاد هر کدام از آن ها بر روی برازش است .

اما هنگامی که متغیر سوم که معادل$X_2$$X_1$ می باشد را به برازش اضافه کنیم و p-مقدار آن را اندازه گیری کنیم .p- مقدار آن به شدت کم خواهد بود و p- مقدار متغیر های $X_2$ و $X_1$ نسبت به حالت قبل افزایش می یابند و بیشتر می شوند .