نقطه حدی

در ریاضیات، نقطهٔ انباشتگی یا نقطهٔ حدیِ مجموعهٔ S در فضای توپولوژیک X، نقطه‌ای مانند x (درون فضای X و نه لزوماً مجموعهٔ S) است که هر همسایگی آن، شامل نقطه‌ای از S غیر از x باشد یا S را در نقطه‌ای بجز x قطع کند. توجه شود که در این تعریف همسایگی دلخواه نقطه حدی باید محذوف باشد (یعنی شامل خود نقطه x نباشد) همچنین نقطه حدی می‌تواند عضو مجموعه S باشد یا نباشد و این موضوع در تعریف مذکور تأثیری ندارد. مجموعهٔ نقاط حدی S را با ^'S نشان می‌دهیم و به آن مجموعهٔ مشتق S می‌گوییم.

نقطهٔ حدی در تعریف مفاهیمی چون حد، بستار و مجموعه بسته پدیدار می‌گردد.

نگاره نقاط دنباله الگو:Math از اعداد گویا را نشان می‌دهد. ۱ و ۱- نقاط حدی آن هستند.

مثال‌ها

نگاره اعداد گویای مثبت را نشان می‌دهد. بنابر قضیه چگالی، هر نقطه در مجموعه اعداد حقیقی یک نقطه حدی مجموعه اعداد گویا است.

• با در نظر گرفتن خط حقیقی $ℝ$، اگر الگو:Math آنگاه نقطهٔ ۰ یک نقطهٔ حدی A است. همچنین الگو:Sfrac نیز نقطه حدی دیگر آن است. در واقع هر نقطهٔ بازهٔ الگو:Math یک نقطه حدی A است؛ ولی هیچ عضو دیگر $ℝ$ نقطه حدی A نیست.
• یک مجموعه متناهی دارای نقطه حدی نیست.
• مجموعه نامتناهی $\mathbb{N}$ (مجموعه اعداد طبیعی) نقطه حدی ندارد.
• تنها نقطه حدی مجموعهٔ $A=\{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}$ نقطهٔ ۰ است. هیچ‌یک از نقاط دیگر A نقطهٔ حدی آن نیست.

قضیه‌ها

• فرض کنید الگو:چپ به راست یک فضای متریک باشد، الگو:چپ به راست و الگو:چپ به راست آن‌گاه احکام زیر معادلند:

1. 1. p یک نقطه حدی A است.
   2. هر همسایگی p شامل تعدادی نامتناهی نقطه از A است.
   3. دنباله‌ای مانند (x_n) از نقاط A وجود دارد که همواره الگو:چپ به راست ولی $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=p$.

دانستنی‌ها

• نقطهٔ p در فضای متری X را یک نقطهٔ تراکم مجموعهٔ الگو:چپ به راست نامند هرگاه هر همسایگی p تعداد شمارش ناپذیری نقطه از E را داشته باشد. نقطه تراکم نوع خاصی از نقطه حدی است.
• هرگاه الگو:چپ به راست و p نقطهٔ حدی S نباشد، آنگاه p یک نقطهٔ تنهای S نام دارد.
• S بسته است هرگاه هر نقطهٔ حدی S یک نقطه از S باشد.
• S کامل است هرگاه S بسته و هر نقطهٔ آن یک نقطه حدی آن باشد.

منابع

• الگو:یادکرد کتاب
• الگو:یادکرد کتاب
• الگو:یادکرد کتاب
• الگو:یادکرد کتاب