مرتبه ضربی

مرتبهٔ عدد $a$ در مبنای عدد $n$ به صورت $or{d}_{n}a$ (اُردر $a$ در مبنای $n$) نشان داده می‌شود و برابر است با کوچکترین عدد طبیعی $d$ است که $a^d\equiv 1(\mathrm{mod}n)$. اما دقت شود که مرتبه تنها هنگامی قابل تعریف است که $a$ و $n$ نسبت به هم اول باشند.

مثال

$ord{}_{7}2=3$

زیرا

$2^3\equiv 1(\mathrm{mod}7)$

در حالی که

$2^1\equiv ̸1(\mathrm{mod}7)$

$2^2\equiv ̸1(\mathrm{mod}7)$

قضایای مرتبط

در قضایای زیر فرض شده است $(a,n)=1$

• اگر $a^m\equiv 1(\mathrm{mod}n)$ آنگاه حتماً ${\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_{n}a\mid m$
• اگر $\phi (n)$ تابع فی اویلر باشد، آنگاه $or{d}_{n}a\mid \phi (n)$
• اگر قرار دهیم $d=or{d}_{n}a$ آنگاه اعداد $a^0,a^1,a^2,a^3,\mathrm{...},a^{d-1}$ دو به دو به پیمانه $n$ متمایز خواهند بود.