ماتریس نواری

در ریاضیات، به خصوص در نظریهٔ ماتریس‌ها، ماتریس نواری الگو:انگلیسی یک ماتریس پراکنده است که درایه‌های خارج از یک نوار نسبتاً باریک حول قطر اصلی صفر است.

به عبارت دیگر، ماتریس ($A_{n*n}$ = (a_i,j یک ماتریس نواری است اگر برای مقادیر ثابت $K_1,K_2\ge 0$ شرط زیر برقرار باشد :

a_i,j = 0 اگر $j>i+K_2$ یا $j<i-K_1$

مقادیر $K_1$ و $K_2$ به ترتیب نیمه پهنای باند چپ ( پهنای نوار پایینی ) و راست ( پهنای نوار بالایی ) نامیده می‌شوند . یک ماتریس نواری با $K_1=K_2=0$ یک ماتریس قطری؛ یک ماتریس نواری با $K_1=K_2=1$ یک ماتریس سه قطری؛ یک ناتریس نواری با $K_1=K_2=2$ یک ماتریس پنج وجهی و ... نامیده می‌شود .

کاربرد

در بسیاری از کاربردها ماتریس‌هایی ظاهر می‌شوند که تعداد اندکی درایهٔ غیر صفر دارند . به عنوان یک مثال ساده دستگاه‌های سه قطری را که از تقریبات گسستهٔ معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ دوم با مشتقات جزئی نیز پیش می‌آید .

ساختار دستگاه‌های سه قطری

$\left[\begin{array}{cccccc}{b}_1& c_1& 0& \cdots & \cdots & 0\\ a_2& b_2& c_2& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& a_3& b_3& c_3& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & a_{n-1}& b_{n-1}& c_{n-1}\\ 0& \cdots & \cdots & 0& a_n& b_n\end{array}\right]$

تقریبات تفاضلی معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ بالاتر نوعاً به ماتریس‌هایی منجر می‌شود که درایه‌های غیر صفر آن‌ها از طرح‌های کلی تری، مثل ساختار ۵ قطری زیر، برخوردارند.

$\left[\begin{array}{ccccccc}*& *& *& \cdots & \cdots & \cdots & ⋮\\ **& *& *& *& \cdots & \cdots & ⋮\\ **& *& *& *& *& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & *& *& *& *& *\\ ⋮& \ddots & \ddots & *& *& *& *\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & *& *& *\end{array}\right]$

واقعیت مشترک کلیهٔ این ساختارها این است که برای مقادیر محسوس n اکثر درایه‌های آن‌ها صفرند . به عبارت دیگر این ماتریسها تنک هستند . ماتریسهای تنک موقعیت روشنی را برای صرفه جویی محاسباتی فراهم می‌آورند .

ذخیره‌سازی نواری

ماتریس‌های نواری معمولاً با ذخیره کردن قطرها( قطرهای دارای عناصر ناصفر ) در ستون‌های یک ماتریس ذخیره می‌شوند و درایه‌های خالی به صورت پیش‌فرض با صفر پر می‌شوند .

به‌طور مثال یک ماتریس سه قطری 6*6 :

$\left[\begin{array}{cccccc}{B}_{11}& B_{12}& 0& \cdots & \cdots & 0\\ B_{21}& B_{22}& B_{23}& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& B_{32}& B_{33}& B_{34}& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & B_{43}& B_{44}& B_{45}& 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & B_{54}& B_{55}& B_{56}\\ 0& \cdots & \cdots & 0& B_{65}& B_{66}\end{array}\right]$

با ماتریس 3*6 زیر ذخیره می‌شود :

$\left[\begin{array}{ccc}0& B_{11}& B_{12}\\ B_{21}& B_{22}& B_{23}\\ B_{32}& B_{33}& B_{34}\\ B_{43}& B_{44}& B_{45}\\ B_{54}& B_{55}& B_{56}\\ B_{65}& B_{66}& 0\end{array}\right]$

.

منابع

• الگو:یادکرد ویکی
• آنالیز عددی برای علوم کاربردی ترجمهٔ سیدمحمد حسینی