قضیه بطلمیوس

هنگامی که چهارضلعی محاطی باشد، حالت تساوی رخ می‌دهد.

اگر $ABCD$ یک چهار ضلعی دلخواه باشد آنگاه داریم $AB\times CD+BC\times DA\ge AC\times BD$ و تساوی هنگامی اتفاق می افتد که $ABCD$ یک چهارضلعی محاطی باشد. توجه: $AC$ و $BD$ دو قطر چهارضلعی‌اند.

اثبات

نقطه $E$ طوری انتخاب می کنیم که مثلث $DCE$ متشابه با $ABC$ شود. حال چون $\mathrm{\angle }DCE=\mathrm{\angle }BCA$ پس $\mathrm{\angle }LCD=\mathrm{\angle }ACE$ همچنین به دلیل تشابه دو مثلث $ABC$ و $DCE$ داریم $\frac{BC}{AC}=\frac{DC}{CE}$ دو نتیجه اخیر نشان از تشابه دو مثلث $BCD$ و $ACE$ دارد و این خود رابطه $\frac{AE}{BD}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AE=\frac{AC\times BD}{BC}$ را نتیجه می دهد. حال در مثلث $ADE$ طبق نامساوی مثلثی داریم: $AD+DE\ge AE$ به جای $AE$ مقدار $\frac{AC\times BD}{BC}$ را قرار داده و دو طرف نامساوی را در $BC$ ضرب می کنیم. رابطه $BC\times ad+BC\times DE\ge AC\times BD$ حاصل می شود. حال تنها کافی است نشان دهیم $BC\times DE=AB\times DC$ که این نیز از تشابه دو مثلث $ABC$ و $DCE$ به دست می آید.

نتایج

• اگر $ABC$ یک مثلث متساوی‌الاضلاع باشد و $P$ نقطه ای دلخواه بیرون از مثلث و درون زاویه $\hat{A}$ آنگاه داریم $PA\le PB+PC$ و هنگامی که $P$ روی کمان $BC$ از دایره محیطی مثلث باشد، تساوی رخ می دهد

منابع

الگو:پانویس کتاب هندسه مسطحه، ناتان آلتشیلر کورت، انتشارات فاطمی