قضیه آرتین–ریس

قضیه آرتین-ریس یا لم آرتین-ریس قضیه ای است در جبر جابجایی که افزون بر آن کاربردهایی در هندسه جبری نیز دارد. این قضیه به افتخار امیل آرتین و دیوید ریس نامگذاری شده است.

صورت قضیه

فرض کنید $I$ یک ایده‌آل حلقه جابجایی نوتری $R$ باشد. همچنین فرض کنید $M$ یک مدول متناهی مولد روی $R$ و $N\subseteq M$ یک زیرمدول باشد. آنگاه یک عدد طبیعی $k$ موجود است که برای هر $i\ge k$ داریم: $I^{i}M\cap N=I^{i-k}(I^{k}M\cap N)$.

کاربرد

اگر $M$ مدول دلخواه روی حلقه جابجایی دلخواه $R$ باشد آنگاه

$IM\supset I^{2}M\supset I^{3}M\supset \dots$

یک پایه برای توپولوژی نزدیک $0$ و در نتیجه یک پایه برای توپولوژی روی $M$ تعریف میکند. این توپولوژی به توپولوژی $I$-ادیک نامبردار است. در این توپولوژی، یک زیرمجموعه $U\subset M$ باز است اگر و تنها اگر برای هر $x\in U$ یک $i\in \mathbb{N}$ وجود داشته باشد به گونه ای که $x+I^{i}M\subseteq U$.

بدینسان $N$ به عنوان زیر مجموعه $M$ به صورت طبیعی دارای یک توپولوژی القا شده به وسیله توپولوژی $I$-ادیک $M$ می باشد. ولی $N$ به عنوان یک مدول روی $R$ خود دارای یک توپولوژی $I$-ادیک است (درست همانگونه که این توپولوژی برای $M$ تعریف شد). قضیه آرتین-ریس میگوید که اگر حلقه $R$ نوتری و مدول $M$ متناهی مولد باشد این دو توپولوژی روی $N$ با هم هم ارز و یکسان هستند.

منابع

• Siegfried Bosch: Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer-Verlag 2012
• David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer-Verlag, 1995