قانون موری

قانون موری الگو:انگلیسی عنوانی است که برای اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می‌شود: الگو:چپ‌چین

$\cos (20^{\circ })\cdot \cos (40^{\circ })\cdot \cos (80^{\circ })=\frac{1}{8}.$

الگو:پایان چپ‌چین که یک حالت خاص از قاعدهٔ کلیِ الگو:چپ‌چین

$2^n\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos (2^k\alpha )=\frac{\sin (2^n\alpha )}{\sin (\alpha )}$

الگو:پایان چپ‌چین به ازای n = 3 و α = 20° است. این قاعده را ریچارد فاینمن بر اساس نام پسری به نام موری جیکابز که در دوران کودکی‌اش این قاعده را از او آموخته‌بود نامگذاری کرده است.

اتحاد مشابهی برای تابع سینوس نیز برقرار است: الگو:چپ‌چین

$\sin (20^{\circ })\cdot \sin (40^{\circ })\cdot \sin (80^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{8}.$

الگو:پایان چپ‌چین که حاصل تقسیم آن بر قانون موری به صورت زیر است: الگو:چپ‌چین

$\tan (20^{\circ })\cdot \tan (40^{\circ })\cdot \tan (80^{\circ })=\sqrt{3}=\tan (60^{\circ }).$

اثبات

اگر رابطهٔ دوبرابرِ زاویهٔ تابع سینوس که مطابق آن الگو:چپ‌چین

$\sin (2\alpha )=2\sin (\alpha )\cos (\alpha ).$

الگو:پایان چپ‌چین را برای یافتن $\cos (\alpha )$ حل کنیم، خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

$\cos (\alpha )=\frac{\sin (2\alpha )}{2\sin (\alpha )}.$

الگو:پایان چپ‌چین و در ادامه: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}\cos (2\alpha )& =\frac{\sin (4\alpha )}{2\sin (2\alpha )}\\ \cos (4\alpha )& =\frac{\sin (8\alpha )}{2\sin (4\alpha )}\\ & ⋮\\ \cos (2^{n-1}\alpha )& =\frac{\sin (2^n\alpha )}{2\sin (2^{n-1}\alpha )}.\end{array}$

از ضرب این عبارت‌ها در هم، داریم: الگو:چپ‌چین

$\cos (\alpha )\cos (2\alpha )\cos (4\alpha )\cdots \cos (2^{n-1}\alpha )=\frac{\sin (2\alpha )}{2\sin (\alpha )}\cdot \frac{\sin (4\alpha )}{2\sin (2\alpha )}\cdot \frac{\sin (8\alpha )}{2\sin (4\alpha )}\cdots \frac{\sin (2^n\alpha )}{2\sin (2^{n-1}\alpha )}.$

صورت‌ها و مخرج با هم خنثی می‌شوند و تنها مخرج کسر اول و صورت کسر آخر بر جای می‌ماند. با توجه به اینکه n عبارت در هر طرف از معادله داشته‌ایم، می‌توان نتیجه را به صورت زیر نوشت: الگو:چپ‌چین

$\prod _{k=0}^{n-1}\cos (2^k\alpha )=\frac{\sin (2^n\alpha )}{2^n\sin (\alpha )},$

الگو:پایان چپ‌چین که معادل قاعدهٔ کلی‌ای است که قانون موری از آن به دست می‌آید.

منابع

• Wikipedia contributors, "Morrie's law," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Morrie's_law&oldid=567044213 (accessed May 6, 2015).