فهرست اتحادهای لگاریتمی

اتحادهای لگاریتمی زیادی را می‌توان در ریاضیات پیدا کرد.

قوانین جبری

کاربرد عملگرهای ساده‌ساز

گاهی از لگاریتم برای ساده کردن شمارش‌های ریاضی استفاده می‌شود. مانند لگاریتم حاصل ضرب که برابر است با مجموع لگاریتم دو عدد: الگو:چپ‌چین

${\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$	زیرا:	$b^c\cdot b^d=b^{c+d}$
${\log }_b\left(\begin{array}{c}\frac{x}{y}\end{array}\right)={\log }_b(x)-{\log }_b(y)$	زیرا:	$b^{c-d}=\frac{b^c}{b^d}$
${\log }_b(x^d)=d{\log }_b(x)$	زیرا:	$(b^c{)}^d=b^{cd}$
${\log }_b\left(\sqrt[y]{x}\right)=\begin{array}{c}\frac{{\log }_b(x)}{y}\end{array}$	زیرا:	$\sqrt[y]{x}=x^{1/y}$
$x^{{\log }_b(y)}=y^{{\log }_b(x)}$	زیرا:	$x^{{\log }_b(y)}=b^{{\log }_b(x){\log }_b(y)}=b^{{\log }_b(y){\log }_b(x)}=y^{{\log }_b(x)}$
$c{\log }_b(x)+d{\log }_b(y)={\log }_b(x^c{y}^d)$	زیرا:	${\log }_b(x^c{y}^d)={\log }_b(x^c)+{\log }_b(y^d)$

الگو:پایان چپ‌چین که در آن $b$ و $x$ و $y$ اعداد حقیقی بزرگتر از صفر اند و $b\ne 1$ است. همچنین $c$ و $d$ همگی اعداد حقیقی اند.

اثبات قانون نخست

الگو:چپ‌چین $xy=b^{{\log }_b(x)}{b}^{{\log }_b(y)}=b^{{\log }_b(x)+{\log }_b(y)}\Rightarrow {\log }_b(xy)={\log }_b(b^{{\log }_b(x)+{\log }_b(y)})={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$ الگو:پایان چپ‌چین قانون مربوط به توان‌ها: الگو:چپ‌چین $x^y=(b^{{\log }_b(x)}{)}^y=b^{y{\log }_b(x)}\Rightarrow {\log }_b(x^y)=y{\log }_b(x)$ الگو:پایان چپ‌چین قانون نسبت‌ها: الگو:چپ‌چین ${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_b(x{y}^{-1})={\log }_b(x)+{\log }_b(y^{-1})={\log }_b(x)-{\log }_b(y)$ الگو:پایان چپ‌چین قانون ریشه‌ها مانند قانون توان‌ها اثبات می‌شود: الگو:چپ‌چین ${\log }_b(\sqrt[y]{x})={\log }_b(x^{\frac{1}{y}})=\frac{1}{y}{\log }_b(x)$ الگو:پایان چپ‌چین

اتحادهای بدیهی

${\log }_b(1)=0$	زیرا:	$b^0=1$
${\log }_b(b)=1$	زیرا:	$b^1=b$

الگو:پایان چپ‌چین هشدار: ${\log }_b(0)$ تعریف نشده‌است چون هیچ عدد $x$ را نمی‌توان پیدا کرد که $b^x=0$ شود. به عبارت دیگر در نمودار ${\log }_b(x)$ در نقطهٔ ۰ = x یک مجانب قائم داریم.

توان‌های خنثی کننده

تابع‌های لگاریتمی و نمایی در صورتی که هر دو در یک پایه باشند می‌توانند یکدیگر را خنثی کنند. این به این دلیل است که دو تابع وارون یکدیگرند. (درست مانند ضرب و تقسیم یا جمع و تفریق که عملگرهای وارون اند) الگو:چپ‌چین

$b^{{\log }_b(x)}=x\text{ because }{\mathrm{antilog}}_b({\log }_b(x))=x$

${\log }_b(b^x)=x\text{ because }{\log }_b({\mathrm{antilog}}_b(x))=x$

تغییر پایه

بسیاری از ماشین حساب‌ها تنها می‌توانند لگاریتم طبیعی و اعشاری را حساب کنند برای همین اگر بخواهیم لگاریتم در دیگر پایه‌ها را بدست آوریم باید از اتحاد زیر استفاده کنیم: الگو:چپ‌چین الگو:وسط‌چین${\log }_{b}a=\frac{{\log }_{d}a}{{\log }_{d}b}$الگو:پایان الگو:پایان چپ‌چین

اثبات

فرض کنید که $c={\log }_{b}a$ آنگاه $b^c=a$ حال از دو سوی تساوی در پایهٔ d لگاریتم می‌گیریم:

الگو:وسط‌چین${\log }_d{b}^c={\log }_{d}a$الگو:پایان

پس از ساده‌سازی خواهیم داشت: $c{\log }_{d}b={\log }_{d}a$

آنگاه $c=\frac{{\log }_{d}a}{{\log }_{d}b}$

از آنجایی که $c={\log }_{b}a$ خواهیم داشت: ${\log }_{b}a=\frac{{\log }_{d}a}{{\log }_{d}b}$

نتایج

نتایج بدست آمده از اتحاد بالا عبارتند از: الگو:چپ‌چین

${\log }_{b}a=\frac{1}{{\log }_{a}b}$

${\log }_{b^n}a=\frac{{\log }_{b}a}{n}$

$b^{{\log }_{a}d}=d^{{\log }_{a}b}$

$-{\log }_{b}a={\log }_b\left(\frac{1}{a}\right)={\log }_{\frac{1}{b}}a$

${\log }_{b_1}{a}_1\cdots {\log }_{b_n}{a}_n={\log }_{b_{\pi (1)}}{a}_1\cdots {\log }_{b_{\pi (n)}}{a}_n,$

الگو:پایان چپ‌چین که در آن $\pi$ جایگشت زیرنویس ۱ تا n است مانند: الگو:چپ‌چین

${\log }_{b}w\cdot {\log }_{a}x\cdot {\log }_{d}c\cdot {\log }_{d}z={\log }_{d}w\cdot {\log }_{b}x\cdot {\log }_{a}c\cdot {\log }_{d}z.$

جمع و تفریق

جمع و تفریق در لگاریتم‌ها در نظریه‌های احتمالاتی کاربرد دارند: الگو:چپ‌چین

${\log }_b(a+c)={\log }_{b}a+{\log }_b(1+b^{{\log }_{b}c-{\log }_{b}a})$

${\log }_b(a-c)={\log }_{b}a+{\log }_b(1-b^{{\log }_{b}c-{\log }_{b}a})$

الگو:پایان چپ‌چین که در حالت ویژه می‌دهد: الگو:چپ‌چین

${\log }_b(a+c)={\log }_{b}a+{\log }_b(1+\frac{c}{a})$

${\log }_b(a-c)={\log }_{b}a+{\log }_b(1-\frac{c}{a})$