فضای تابع

الگو:Functions یک فضای تابع الگو:به انگلیسی در ریاضیات، یک مجموعه تابع بین دو مجموعه ثابت است. معمولاً دامنه و/یا هم‌دامنه ساختاری اضافی دارد که از فضای تابعی به ارث برده می‌شود. برای مثال، مجموعه توابع از هر مجموعه الگو:Var به یک فضای برداری دارای ساختار فضای برداری طبیعی است که توسط جمع و ضرب نرده‌ای نقطه‌گون معین می‌شود. در سناریوهای دیگر، فضای تابعی ممکن است ساختارهای توپولوژیکی یا متریکی را به ارث ببرد، از این رو نام فضای تابعی دارد.

در جبر خطی

فرض کنید الگو:Var یک فضای برداری روی میدان الگو:Var باشد و فرض کنید الگو:Var یک مجموعه باشد. می‌توان به توابع الگو:Var → الگو:Var ساختار یک فضای برداری روی الگو:Var را داد که در آن عمل‌ها به صورت نقطه‌گون تعریف شده‌اند، یعنی، برای هر الگو:Var, الگو:Var: الگو:Var → الگو:Var، هر الگو:Var در الگو:Var و هر الگو:Var در الگو:Var، تعریف می‌کنیم $$\begin{array}{cc}(f+g)(x)& =f(x)+g(x)\\ (c\cdot f)(x)& =c\cdot f(x)\end{array}$$ وقتیکه دامنه الگو:Var ساختار اضافی دارد، می‌توان در عوض زیرمجموعه (یا زیرفضا) همه چنین توابعی را در نظر بگیریم که ساختار را نگهداری می‌کند. برای مثال، اگر الگو:Var یک فضای برداری روی الگو:Var هم باشد، مجموعه نگاشت‌های خطی الگو:Var → الگو:Var یک فضای برداری روی الگو:Var می‌سازند که عمل‌های نقطه‌ای دارند (معمولا به صورت Hom(الگو:Var,الگو:Var) نشان داده می‌شوند. یکی از چنین فضاهایی فضای دوگان الگو:Var است: مجموعه تابعی‌های خطی الگو:Var → الگو:Var که در آن جمع و ضرب نرده‌ای به صورت نقطه‌گون تعریف شده‌اند.

مثال‌ها

فضاهای تابعی در زمینه‌های متعددی از ریاضیات پدیدار شده‌اند:

• در نظریه مجموعه‌ها، مجموعه توابع از X به Y را می‌توان به صورت X → Y یا Y^X نشان داد.
  • به عنوان یک حالت خاص، مجموعه توانی یک مجموعه X را می‌توان به صورت مجموعه همه توابع از X به {۰, ۱} شناسایی کرد، که به صورت 2^X نشان داده می‌شود.
• مجموعه تناظرهای دوسویه از X به Y به صورت $X\leftrightarrow Y$ نشان داده می‌شود. نماد فاکتوریل X! را می‌توان برای جایگشت‌های یک مجموعه منفرد X استفاده کرد.
• در آنالیز تابعی از همین موضوع برای تبدیل‌های خطی پیوسته استفاده شده، که شامل توپولوژی‌ها روی فضاهای برداری در بالا، و بسیاری از مثال‌های اصلی همان فضاهای تابع هستند که یک توپولوژی را حمل می‌کنند؛ مشهورترین مثال‌ها فضاهای هیلبرت و فضاهای باناخ هستند.
• در آنالیز تابعی، مجموعه همه توابع از اعداد طبیعی با یک مجموعه X را یک فضای دنباله می‌نامند. این شامل همه مجموعه همه دنباله‌های ممکن از عناصر X است.
• در توپولوژی، ممکن است بخواهیم یک توپولوژی روی فضای توابع پیوسته از یک فضای توپولوژیکی X به دیگری Y بگذاریم، این بسته به امکان طبیعت فضاها دارد. یک مثال معمول همان توپولوژی فشرده-باز است، مثل فضای حلقه. همچنین توپولوژی حاصل‌ضربی روی فضای توابع مجموعه نظری Y^X (یعنی توابعی که الزاماً پیوسته نیستند) موجود است. در این زمینه، این توپولوژی به عنوان توپولوژی همگرایی نقطه‌گون شناخته می‌شود.
• در توپولوژی جبری، مطالعه نظریه هوموتوپی به صورت اساسی مطالعه نامتعیرهای گسسته فضاهای تابعی است؛
• در نظریه فرایندهای تصادفی، مسئله فنی اصلی آن است که چگونه یک سنجه احتمالی، روی فضای تابعی مسیرهای فرایند بسازیم (که توابعی از زمان هستند).
• در نظریه رسته‌ها، به فضای تابع یک شیء توانی یا شیء نگاشت گفته می‌شود. این از روشی مثل دوتابع‌گون کانونی نمایش داده می‌شود؛ اما به عنوان یک تابع‌گون (منفرد)، از نوع [X, -] به صورت یک تابع‌گون مجاورتی به یک تابع‌گون از نوع (-×X) روی اشیاء نمایان می‌گردد؛
• در برنامه‌نویسی تابعی و حساب لامبدا، از انواع تابع برای بیان ایده توابع مرتبه-بالاتر استفاده می‌شود.
• در نظریه دامنه، ایده اصلی یافتن ساختارهایی از ترتیب جزئی است که می‌تواند حسابان لامبدا را توسط یک رسته بسته دکارتی خوش-رفتار مدل کند، می‌باشد.
• در نظریه نمایش گروه‌های متناهی، اگر دو نمایش متناهی-بعد الگو:Var و الگو:Var از یک گروه الگو:Var داده شود، می‌توان یک نمایش از الگو:Var روی فضای برداری نگاشت‌های خطی Hom(الگو:Var,الگو:Var) بسازد که نمایش Hom نامیده می‌شود.

آنالیز تابعی

آنالیز تابعی حول و حوش فنون مناسب برای همراهی فضاهای برداری مثل فضاهای برداری توپولوژیکی با ایده‌هایی است که به فضاهای نرم‌دار متنهای بعد اعمال می‌شود، می‌باشد. در اینجا از خط حقیقی به عنوان دامنه نمونه استفاده می‌کنیم، اما فضاهای زیر روی زیرمجموعه‌های باز مناسب $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ موجوداند:

نرم

اگر الگو:Math یک عنصر از فضای تابع $𝒞(a,b)$ از همه توابع پیوسته‌ای باشد که روی بازه بسته الگو:Closed-closed تعریف شده‌اند، نرم $\Vert y{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ که روی $𝒞(a,b)$ تعریف شده‌است، همان مقدار قدرمطلق حداکثری الگو:Math برای الگو:Math است، $$\Vert y{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\equiv \underset{a\le x\le b}{\max }|y(x)|\text{where}y\in 𝒞(a,b)$$

که نرم همسان یا نرم زبرینه ('sup norm') نامیده می‌شود.