عدد کوانتومی خوب

در مکانیک کوانتومی، با فرض هامیلتونین $H$ و داشتن عملگر $\mathrm{\Omega }$ با ویژه‌بردارها و ویژه‌مقدارهای $\mathrm{\Omega }|q_j⟩=q_j|q_j⟩$، عددهای $q_j$ را عدد کوانتومی خوب می‌نامند اگر هر ویژه‌بردار $|q_j⟩$ با گذشت زمان یک ویژه‌بردار عملگر $\mathrm{\Omega }$ با همان ویژه‌مقدار باقی بماند.

توضیح ریاضی

اگر $\mathrm{\Omega }|q_j⟩=\mathrm{\Omega }\sum _k{c}_k(0)|e_k⟩=q_j|q_j⟩$، (که $e_k$ ویژه‌مقادیر هامیلتونین هستند) لازم است برای همه‌ی ویژه‌بردارهای $|q_j⟩$ داشته باشیم:

$\mathrm{\Omega }\sum _k{c}_k(0)\exp (-i{e}_{k}t/\hslash )|e_k⟩=q_j\sum _k{c}_k(0)\exp (-i{e}_{k}t/\hslash )|e_k⟩$

تا عدد $q$ یک عدد کوانتومی خوب باشد.

قضیه: شرط لازم و کافی برای اینکه عدد q که یک ویژه‌مقدار عملگر $\mathrm{\Omega }$ است خوب باشد، آن است که $[\mathrm{\Omega },H]=0$ .

برهان: فرض کنیم $[\mathrm{\Omega },H]=0$ . اگر $|{\psi }_0⟩$ یک ویژه‌بردار $\mathrm{\Omega }$ باشد طبق تعریف داریم $\mathrm{\Omega }|{\psi }_0⟩=q_j|{\psi }_0⟩$ . سپس:

$\mathrm{\Omega }|{\psi }_t⟩=\mathrm{\Omega }T(t)|{\psi }_0⟩$

$=\mathrm{\Omega }{e}^{-itH/\hslash }|{\psi }_0⟩$

$=\mathrm{\Omega }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(-iHt/\hslash {)}^n|{\psi }_0⟩$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(-iHt/\hslash {)}^n\mathrm{\Omega }|{\psi }_0⟩$

$=q_j|{\psi }_t⟩.◻$