عدد برنولی

اعداد برنولی الگو:Math

الگو:Mvar	کسری	ده‌دهی
0	1	+1.000000000
1	±الگو:Sfrac	±0.500000000
2	الگو:Sfrac	+0.166666666
3	0	+0.000000000
4	−الگو:Sfrac	−0.033333333
5	0	+0.000000000
6	الگو:Sfrac	+0.023809523
7	0	+0.000000000
8	−الگو:Sfrac	−0.033333333
9	0	+0.000000000
10	الگو:Sfrac	+0.075757575
11	0	+0.000000000
12	−الگو:Sfrac	−0.253113553
13	0	+0.000000000
14	الگو:Sfrac	+1.166666666
15	0	+0.000000000
16	−الگو:Sfrac	−7.092156862
17	0	+0.000000000
18	الگو:Sfrac	+54.97117794
19	0	+0.000000000
20	−الگو:Sfrac	−529.1242424

اعداد برنولی با نماد الگو:Math در ریاضیات، دنباله‌ای اند از عددهای گویا که در نظریه اعداد روی می‌دهد. مقدار ۲۰ عدد برنولی در جدول کناری آمده‌است.

به ازای هر الگو:Math ناصفر زوج، اگر الگو:Math بر ۴ بخش پذیر باشد الگو:Math منفی و در غیر این صورت مثبت خواهد بود همچنین به ازای الگو:Mathهای فرد غیر از ۱، الگو:Math صفر خواهد بود.

در فرمول زیر روش انتقال از عدد منفی به مثبت نشان داده شده‌است: الگو:چپ‌چین $B_n^{+}=(-1{)}^n{B}_n^{-}$ الگو:پایان چپ‌چین اعداد برنولی، مقدارهای خاصی از چندجمله‌ای برنولی، $B_n(x)$ اند با فرض $B_n^{-}=B_n(0)$ و $B_n^{+}=B_n(1)$.

از آنجایی که به ازای همهٔ اعداد فرد بزرگتر از ۱، الگو:Math است بسیاری از فرمول‌هایی که برای عددهای برنولی ارائه می‌شود در اصل برای اعداد زوج است و منظور از "الگو:Math" همان الگو:Math است.

اعداد برنولی در گسترش بسط تیلور توابع مثلثاتی و تانژانت توابع هذلولوی، در فرمول فالهابر برای جمع توان‌های نخستین اعداد صحیح مثبت (الگو:کوچک$\sum _{k=1}^n{k}^p=1^p+2^p+\cdots +n^p$الگو:پایان کوچک)، در فرمول اویلر-مکلورن و در جاهایی در تابع زتای ریمان دیده می‌شود.

عددهای برنولی توسط ریاضی‌دان سوئیسی یاکوب برنولی معرفی شدند و به نام او ثبت شدند اما یک ریاضی‌دان ژاپنی به نام سکی تاکاکازو نیز این اعداد را شناسایی کرده بود که پس از مرگش در ۱۷۱۲ مقاله اش منتشر شد؛ کار او کاتسویو سامپو نام داشت.

ایدا لاولیس در نوشته‌هایش پیرامون موتور تحلیلی از ۱۸۴۲ به توصیف الگوریتمی برای تولید اعداد برنولی توسط ماشین ببیج می‌پردازد.

پیشینه

کارهای نخست

گذشتهٔ اعداد برنولی ریشه در تاریخ محاسبهٔ مجموع توان‌های اعداد طبیعی دارد. روش‌های محاسبهٔ جمع الگو:Mvar عدد طبیعی نخست (الگو:کوچک$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\cdots +n$الگو:پایان کوچک) همچنین جمع توان دوها (مربعات) (الگو:کوچک$\sum _{k=1}^n{k}^2=1^2+2^2+\cdots +n^2$الگو:پایان کوچک) و توان سه‌ها (مکعبات) الگو:Mvar عدد طبیعی (الگو:کوچک$\sum _{k=1}^n{k}^3=1^3+2^3+\cdots +n^3$الگو:پایان کوچک) قبلاً بدست آمده بود اما هیچ فرمول ریاضی مشخصی برای آنها گفته نشده بود و حل آنها تنها به صورت توضیحی و با واژه‌ها بیان شده بود، بدون فرمول ریاضی. از جمله ریاضی‌دانان نامی که به حل مجموع توان‌های اعداد طبیعی پرداختند می‌توان به فیثاغورس، ارشمیدس، آریابهاتا، ابوبکر کرجی و ابن هیثم اشاره کرد.

در سدهٔ شانزدهم و آغاز سدهٔ هفده‌ام میلادی ریاضی‌‌‌‌دانان پیشرفت شگرفی در این زمینه کردند. در غرب، توماس هریوت (۱۵۶۰ تا ۱۶۲۱) از انگلستان، یوهان فالهابر (۱۵۸۰ تا ۱۶۳۵) از آلمان و پیر دو فرما (۱۶۰۱ تا ۱۶۶۵) و همکار فرانسوی‌اش بلز پاسکال (۱۶۲۳ تا ۱۶۶۲) همگی نقش مهمی در این زمینه داشتند.

ظاهراً توماس هریوت نخستین کسی است که برای مجموع توان‌های اعداد طبیعی از نمادهای ریاضی استفاده کرده‌است اما او توانست تنها تا توان ۴ را محاسبه کند. یوهان فالهابر توانست برای مجموع توان‌های اعداد طبیعی تا توان ۱۷ فرمول‌هایی را بدست آورد که این بالاترین دستاورد تا آن زمان بود؛ اما او هم نتوانست فرمول کلی برای همهٔ توان‌ها بدست آورد.

بلز پاسکال در ۱۶۵۴، معادلهٔ پاسکال مربوط به مجموع pامین توان n عدد صحیح مثبت نخست را اثبات کرد به ازای الگو:Math.

ریاضی‌دان سوئیسی ژاکوب برنولی (۱۶۵۴ تا ۱۷۰۵) نخستین کسی بود که دریافت یک دنباله یکتا از اعداد می‌تواند به تنهایی فرمولی کلی برای مجموع توان‌های اعداد صحیح مثبت به ازای هر توانی را بدست دهد این دنباله ثابت‌های الگو:Math داشت. لذتی که برنولی از بدست آوردن الگویی برای ضرایب فرمولش در محاسبۀ مجموع توان cام اعداد طبیعی تجربه کرد در یادداشت‌هایش این گونه بیان شده است: الگو:نقل قول نتایج برنولی پس از مرگش در ۱۷۱۳ در کتابی با عنوان هنر گمان بردن (Ars Conjectandi) منتشر شد. سکی تاکاکازو نیز به صورت مستقل به اعداد برنولی دست پیدا کرد و نتایج کارش در ۱۷۱۲، پس از مرگش منتشر شد البته روش سکی به صورت فرمول ریاضی و دنباله‌ای با ثابت‌های مشخص بیان نشد.

فرمول برنولی تا امروز به عنوان کاربردی‌ترین و عمومی‌ترین روش در بدست آوردن مجموع توان‌ها دانسته می‌شود. ضریب‌های استفاده شده در فرمول برنولی امروزه با نام اعداد برنولی شناخته می‌شوند. این نامگذاری به پیشنهاد ابراهام دو مواور بود.

گاهی به فرمول برنولی، فرمول فالهابر نیز گفته می‌شود این نامگذاری به پاس تلاش‌هایی است که یوهان فالهابر انجام داد او راه‌های ارزشمندی برای محاسبهٔ مجموع توان‌ها ارائه کرد اما هرگز به یک فرمول کلی نرسید او هرگز گمان نمی‌کرد یک دنباله از اعداد بتواند بیانگر جواب مسئله باشد.

$\sum n^m=\frac{1}{m+1}(B_0{n}^{m+1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{1})B_1^{+}{n}^m+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{2})B_2{n}^{m-1}+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{m})B_{m}n)$

یا

$\sum n^m=\frac{1}{m+1}(B_0{n}^{m+1}-(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{1})B_1^{-}{n}^m+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{2})B_2{n}^{m-1}-\cdots +(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{m})B_{m}n)$

برای همۀ مجموع توان‌ها، فالهابر هرگز این حقیقت به چشمش نیامد که تقریباً نیمی از ضرایب رابطۀ او صفر است.

یادداشت‌های برنولی

یادداشت‌های برنولی چنین است:

کتاب ژاکوب برنولی که پس از مرگش منتشر شد.

الگو:- در کتاب هنر گمان بردن ژاکوب برنولی که در ۱۷۱۳ و پس از مرگش منتشر شد صفحهٔ ۹۷، متن بالا آمده‌است. فرمول اصلی در نیمهٔ دوم دیده می‌شود؛ ثابت‌هایی که اینجا برنولی با عنوان‌های الگو:Math، الگو:Math، الگو:Math و الگو:Math معرفی کرده در فرمول امروزی به صورت الگو:Math، الگو:Math، الگو:Math، الگو:Math تعریف شده است. عبارت الگو:Math در اصل به معنی الگو:Math – می‌باشد و این نقطه‌های کوچک در عبارت به معنی علامت ضرب گروهی است با نوشتار ریاضیاتی امروزی می‌توان گفت این عبارت یک فاکتوریل نزولی الگو:Math است. علامت فاکتوریل برای خلاصه نویسی در ضرب الگو:Math به صورت الگو:Math صد سال پس از برنولی معرفی شد. علامت انتگرال در سمت چپ عبارت‌های برنولی به گوتفرید لایبنیتس در 1675 باز می‌گردد که از حرف S برای خلاص‌نویسی summa به معنی جمع استفاده کرد (این نشان می‌دهد لایبنیتز راهنمای علمی برنولی بوده است. عبارت الگو:Math در سمت چپ نیز یک اندیس برای مجموع‌یابی نیست بلکه حد بالایی یک بازه ی مجموع را نشان می‌دهد به صورت الگو:Math. با در کنار هم گذاشتن اطلاعاتی که در این کتاب داده شد برای الگو:Math های مثبت، با ریاضیات امروزی، فرمول برنولی به صورت زیر خواهد بود:

$\sum _{k=1}^n{k}^c=\frac{n^{c+1}}{c+1}+\frac{1}{2}{n}^c+\sum _{k=2}^c\frac{B_k}{k!}{c}^{\underset{\_}{k-1}}{n}^{c-k+1}.$

کاربردهای عددهای برنولی

تحلیل مجانبی

یکی از مهم‌ترین کاربردهای اعداد برنولی در فرمول اویلر-مکلورن است. اگر فرض کنیم تابع الگو:Mvar همواره به اندازۀ کافی مشتق‌پذیر باشد، فرمول اویلر-مکلورن را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$\sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\sum _{k=1}^m\frac{B_k^{-}}{k!}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).$

در این فرمول فرض می شود که الگو:Math. حال با استفاده از convention الگو:Math فرمول خواهد شد:

$\sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\sum _{k=1}^m\frac{B_k^{+}}{k!}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).$

در اینجا الگو:Math و الگو:Math پاد مشتق الگو:Math است. برپایۀ قضیه اساسی حسابان خواهیم داشت:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).$

بنابراین فرمول به صورت ساده‌تر به شکل زیر درخواهد آمد:

$\sum _{k=a}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^m\frac{B_k}{k!}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).$

این فرم برای نمونه بسط اویلر-مکلورن تابع زتا است

$\begin{array}{cc}\zeta (s)& =\sum _{k=0}^m\frac{B_k^{+}}{k!}{s}^{\overline{k-1}}+R(s,m)\\ & =\frac{B_0}{0!}{s}^{\overline{-1}}+\frac{B_1^{+}}{1!}{s}^{\bar{0}}+\frac{B_2}{2!}{s}^{\bar{1}}+\cdots +R(s,m)\\ & =\frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12}s+\cdots +R(s,m).\end{array}$

در اینجا الگو:Math توان فاکتوریل صعودی است.

علاوه بر این، عدد برنولی در دیگر بسط‌های مجانبی نیز کاربرد دارد نمونۀ زیر بسط مجانبی نوع پوانکاره برای تابع دایگاما، الگو:Math است:

$\psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_k^{+}}{k{z}^k}$

سری‌های تیلور

عددهای برنولی در گسترش بسط تیلور بسیاری از توابع مثلثاتی و هذلولوی دیده می‌شود:

تانژانت

$\begin{array}{cccc}\tan x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{2}^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1},& \left|x\right|& <\frac{\pi }{2}\\ \end{array}$

کتانژانت

$\begin{array}{ccc}\cot x& =\frac{1}{x}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{B}_{2n}(2x{)}^{2n}}{(2n)!},& 0<|x|<\pi .\end{array}$

تانژانت هیپربولیک

$\begin{array}{cccc}\tanh x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1},& |x|& <\frac{\pi }{2}.\end{array}$

کتانژانت هیپربولیک

$\begin{array}{ccc}\coth x& =\frac{1}{x}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(2x{)}^{2n}}{(2n)!},& 0<|x|<\pi .\end{array}$

سری‌های لوران

عددهای برنولی در این سری لوران نیز دیده می‌شود:

تابع دایگاما: الگو:چپ‌چین $\psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_k^{+}}{k{z}^k}$ الگو:پایان چپ‌چین