شکل نامعلوم

در حساب دیفرانسیل و انتگرال و دیگر شاخه‌های آنالیز ریاضی، حدهایی که شامل ترکیب جبری چند تابع از یک متغیر مستقل است، اغلب با جای‌گزین کردن آن توابع با حد ریاضی‌شان محاسبه می‌شوند؛ اگر عبارتی که پس از این جای‌گزینی به‌دست می‌آید، اطلاعات کافی برای تعیین حد اصلی ندهد، آن عبارت را نامعیَّن یا تعریف‌نشده (الگو:Lang-en) می‌نامند. این اصطلاح را موآنیو (به فرانسوی: Moigno)، دانشجوی کوشی در میانه قرن ۱۹ پیش نهاد. شکل‌های نامعین، این‌ها هستند:

$\frac{0}{0},\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},0\times \mathrm{\infty },1^{\mathrm{\infty }},\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },0^0\text{ و }{\mathrm{\infty }}^0.$

فهرست شکل‌های نامعیّن

پرکاربردترین شکل‌های نامعیّن در قاعده هوپیتال چنین هستند:

شکل‌های نامعلوم	وضعیت‌ها	میل به 0/0	میل به ∞/∞
0/0	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$	الگو:وسط‌چین—الگو:پایان	$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{1/g(x)}{1/f(x)}$
∞/∞	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{1/g(x)}{1/f(x)}$	الگو:وسط‌چین—الگو:پایان
0 × ∞	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)g(x)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{1/g(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)g(x)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/f(x)}$
∞ − ∞	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }(f(x)-g(x))=\underset{x\to c}{\lim }\frac{1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}$	$\underset{x\to c}{\lim }(f(x)-g(x))=\ln \underset{x\to c}{\lim }\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}$
00	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0^{+},\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$
1∞	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=1,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$
∞0	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$

جستارهای وابسته

• بخش بر صفر
• قاعده هوپیتال

منابع

• الگو:یادکرد-ویکی