شار ریچی

در شاخه ریاضیاتی هندسه دیفرانسیل، شار ریچی الگو:انگلیسی (الگو:IPAc-en، الگو:IPA-it)، که برخی مواقع به آن شار ریچی همیلتون نیز گفته می‌شود، نوعی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) برای متریک ریمانی است. اغلب گفته می‌شود که شار ریچی، به دلیل شباهت‌های صوری در ساختار ریاضیاتی معادله اش، مشابه با انتشار گرما و معادله گرما است؛ با این حال شار ریچی پدیده‌های بسیاری را از خود بروز می‌دهد که در مطالعه معادله گرما دیده نمی‌شوند. همچنین نتایج متعددی از شار ریچی، برای شار انحنای میانگین ابررویه‌ها نیز نشان داده شده‌است.

شار ریچی، که نامگذاری اش به دلیل حضور تنسور ریچی در تعریفش می‌باشد، اولین بار توسط ریچارد اس. همیلتون معرفی شد که از آن، جهت اثبات یک قضیه کره سه بعدی بهره جست (الگو:Harvnb). همیلتون براساس پیشنهاد شینگ تونگ یائو مبنی بر این که جواب‌های تکین شار ریچی را می‌توان به کمک داده‌های توپولوژیکی پیش‌بینی شده در حدس هندسی سازی ویلیام ثرستن شناسایی نمود، نتایجی را در دهه ۱۹۹۰ میلادی تولید کرد که سمت و سویش در جهت حل آن بود. گریگوری پرلمان در ۲۰۰۲ و ۲۰۰۳ میلادی، نتایج جدیدی در مورد شار ریچی ارائه نمود که شامل گونه نوینی از برخی جنبه‌های فنی روش همیلتون بود (الگو:Harvnb، الگو:Harvnb). او در سال ۲۰۰۶ به دلیل مشارکت‌هایش در شار ریچی، مدال فیلدز را برنده شد که از قبول آن امتناع نمود.

اکنون کارهای همیلتون و پرلمن به‌طور گسترده به عنوان اثباتی برای حدس ثرستن در نظر گرفته شده و شامل حالت خاصی از حدس پوانکاره می‌باشد که از ۱۹۰۴ میلادی یک مسئله باز در زمینه توپولوژی هندسی به‌شمار می‌رود. با این حال، بسیاری از روش‌های پرلمن وابسته به برخی از نتایج به شدت تکنیکی از زیرشاخه‌های به ظاهر بی ارتباط هندسه دیفرانسیل است، چنان‌که اثبات کامل حدس ثرستن تنها توسط تعداد بسیار معدودی از ریاضی‌دانان درک شده‌است. اثبات حدس پوانکاره، به دلیل میانبرهای استدلالی حاصل از کارهای پرلمان، توبیاس کولدینگ و ویلیام مینیکوزی، به‌طور وسیع تری شناخته شده‌است (الگو:Harvnb، الگو:Harvnb). از این حدس به عنوان یکی از موفقیت‌های عمده در شاخه ریاضیاتی آنالیز هندسی یاد می‌شود.

بعدها سیمون برندل و ریچارد شون، قضیه کره همیلتون را به ابعاد بالاتر توسعه دادند و با این کار حدس کره دیفرانسیل‌پذیر را که به مدت بیش از پنجاه سال لاینحل باقی مانده بود را به عنوان حالت خاصی از هندسه ریمانی اثبات نمودند (الگو:Harvnb).

تعریف ریاضیاتی

متریک ریمانی $g$ روی منیفلد هموار $M$ ، به‌طور خودکار تنسور ریچی $R i c^{g}$ را تعیین می‌کند. برای هر عنصر $p$ از $M$ ، $g_{p}$ براساس تعریف، ضرب داخلی مثبت-معینی روی $T_{p} M$ است؛ اگر خانواده تک-پارامتری از متریک ریمان $g_{t}$ داده شده باشد، می‌توان مشتق $\frac{\partial}{\partial t} g_{t}$ را در مقدار به‌خصوصی از $t$ یافت، بدین ترتیب به هر نقطه $p$ ، فرم دوخطی متقارنی روی $T_{p} M$ نسبت داده می‌شود. از آنجا که تنسور ریچی یک متریک ریمانی نیز به هر نقطه $p$ ، یک فرم دو-خطی متقارن روی $T_{p} M$ نسبت می‌دهد، تعریف زیر معنادار خواهد بود:

اگر منیفلد همواری چون $M$ ، و بازه حقیقی بازی چون $(a, b)$ داده شده باشد، «شار ریچی» به هر $t \in (a, b)$ ، متریک ریمانی $g_{t}$ روی $M$ را چنان نسبت می‌دهد که:

الگو:وسط‌چین $\frac{\partial}{\partial t} g_{t} = - 2 R i c^{g_{t}}$ الگو:پایان وسط‌چین تنسور ریچی را اغلب به عنوان مقدار میانگین انحناهای مقطعی، یا تریس (اثر) تنسور انحنای ریمانی در نظر می‌گیرند. با این حال، برای تحلیل شار ریچی، تعریف پذیر بودن تنسور ریچی در مختصات موضعی، توسط فرمول جبری که با مشتقات اول و دوم تنسور متریک درگیر است، از اهمیت بسیاری برخوردار می‌باشد. کارکتر خاص این فرمول، بنیان وجود شار ریچی را فراهم می‌آورد.

فرض کنید $k$ یک عدد ناصفر باشد. اگر $g_{t}$ شار ریچی دلخواهی روی بازه باز $(a, b)$ باشد، $G_{t} = g_{k t}$ را برای $t$ بین $\frac{a}{k}$ و $\frac{b}{k}$ در نظر بگیرید. آنگاه: الگو:وسط‌چین $\frac{\partial}{\partial t} g_{t} = - 2 {Ric}^{g_{t}} .$ الگو:پایان وسط‌چین