رسته (ریاضیات)

یک رسته در ریاضیات، ساختاری جبری است که در آن سازه‌های ریاضی و روابط میان آن‌ها به صورت مجرد بررسی می‌شود. در یک رده، سازه‌ها یا اشیاء و پیکان‌های میان آن‌ها مستقل از اینکه اشیاء چه هستند مورد بررسی قرار می‌گیرد.

تعریف

یک رده $C$ عبارت است از:

یک کلاس $O b (C)$ از اشیا یا سازه‌ها،
یک کلاس $h o m (C)$ یا $m o r (C)$ از پیکانها یا ریختارها (یا مورفیسم‌ها). یک عضو $f \in h o m (C)$ عبارت است از یک پیکان $f : a \to b$ برای دو سازه $a, b \in O b (C)$ . نویسه $h o m (a, b)$ نمایانگر کلاس پیکان‌های میان دو شیء $a$ و $b$ است.
یک عمل دوتایی $\circ$ روی $h o m (C)$ که به آن ترکیب می‌گوییم. به گونه‌ای که برای هر سه سازه

$a, b, c \in O b (C)$ داریم $\circ : h o m (b, c) \times h o m (a, b) \to h o m (a, c)$ و این عمل خواص زیر را دارد:

۱. شرکت پذیری: اگر $g : b \to c$ ، $f : a \to b$ و $h : c \to d$ آنگاه: $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$

۲. همانی: برای هر $x \in O b (C)$ ، یک پیکان $1_{x} : x \to x$ به نام ریختار همانی موجود است که: برای هر ریختار $f : a \to b$ داریم: $1_{b} \circ f = f = f \circ 1_{a}$ .

برای آسانی در نوشتار معمولاً نویسه $f \circ g$ را به صورت $f g$ خلاصه می‌کنیم.

نمونه‌ها

رده $S e t$ که سازه‌های آن مجموعه‌ها و پیکانهای آن تابع‌های میان مجموعه‌ها هستند. به زبان دیگر: $S \in S e t$ یک مجموعه و $f \in h o m (S, T)$ یک تابع از مجموعه $S$ به مجموعه $T$ است.
رده $G r$ که سازه‌ها یا اشیاء آن گروه‌ها و پیکانهای یا ریختارهای آن همریختی‌های گروهی هستند. به زبان دیگر: $G \in G r$ یک گروه و $f \in h o m (G, H)$ یک همریختی گروهی $f : G \to H$ است.
رده $R i n g$ که سازه‌ها یا اشیاء آن حلقه‌ها و پیکانهای یا ریختارهای آن همریختی‌های حلقه‌ای هستند. به زبان دیگر: $R \in R i n g$ یک حلقه و $f \in h o m (R, S)$ یک همریختی حلقه‌ای $f : R \to S$ است.
رده $T o p$ که سازه‌های آن فضاهای توپولوژیک و پیکانها، تابع‌های پیوسته میان فضاهای توپولوژیک هستند.

گونه‌های ریختارها

یک ریختار (یا پیکان) $f : a \to b$ را:

یک به یک گوییم اگر از $f g_{1} = f g_{2}$ برای همه ریختارهای $g_{1}, g_{2} : x \to a$ نتیجه شود: $g_{1} = g_{2}$ .
پوشا گوییم اگر از $g_{1} f = g_{2} f$ برای همه ریختارهای $g_{1}, g_{2} : b \to x$ نتیجه شود: $g_{1} = g_{2}$ .
دوسو گوییم اگر یک به یک و پوشا باشد.
یکریختی گوییم اگر دارای وارون باشد یعنی یک ریختار $g : b \to a$ وجود داشته باشد که:

$f g = 1_{b}$ و $g f = 1_{a}$ .

جستارهای وابسته

عملگر

منابع

الگو:پانویس الگو:چپ‌چین

Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.), Springer-Verlag,
J. Adámek, H. Herrlich, G.E. Strecker: Abstract and concrete categories. The Joy of Cats. John Wiley, 1990.

الگو:پایان چپ‌چین الگو:بنیان‌ها-پاورقی الگو:نظریه رسته‌ها

رسته (ریاضیات)

فهرست

تعریف

نمونه‌ها

گونه‌های ریختارها

جستارهای وابسته

منابع

منوی ناوبری

رسته (ریاضیات)

تعریف

نمونه‌ها

گونه‌های ریختارها

جستارهای وابسته

منابع

منوی ناوبری

جستجو