دوازده‌ضلعی

دوازده‌ضلعی منتظم
یک دوازده‌ضلعی منتظم
اضلاع و رأس‌ها	۱۲
نماد اشلفلی	{۱۲}
مساحت (با طول ضلع $a$)	$\begin{array}{cc}A& =3(2+\sqrt{3})a^2\\ & \simeq 11.19615242a^2.\end{array}$
زاویه داخلی (درجه)	۱۵۰

در هندسه، دوازده‌ضلعی الگو:به انگلیسی، یک چندضلعی با دوازده ضلع است.

دوازده‌ضلعی منتظم

یک دوازده‌ضلعی منتظم دارای ضلع‌ها و زاویه‌های داخلی برابر است. اندازهٔ زاویه‌های داخلی هر رأس آن، ۱۵۰ درجه بوده و مساحت آن با استفاده از رابطهٔ زیر محاسبه می‌شود:

$\begin{array}{ccc}A& =3\cot \left(\frac{\pi }{12}\right)a^2=3(2+\sqrt{3})a^2& \simeq 11.19615242a^2.\end{array}$

یا اگر R شعاع دایره محیطی دوازده‌ضلعی منتظم باشد،

$A=6\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)R^2=3R^2.$

و اگر r شعاع دایره محاطی آن باشد،

$\begin{array}{ccc}A& =12\tan \left(\frac{\pi }{12}\right)r^2=12(2-\sqrt{3})r^2& \simeq 3.2153903r^2.\end{array}$

یک فرمول ساده برای مساحت دوازده‌ضلعی منتظم به صورت $A=3ad$ است، که $d$ فاصلهٔ بین اضلاع موازی است که برابر با قطر دایره محاطی ($2r$) است. با استفاده از روابط مثلثاتی، رابطهٔ $d=a(1+2cos30^{\circ }+2cos60^{\circ })$ بدست می‌آید.

روش رسم دوازده ضلعی منتظم

یک دوازده‌ضلعی منتظم با استفاده از خط‌کش و پرگار قابل ترسیم است:

روش رسم دوازده ضلعی منتظم

کاربرد

یک دوازده ضلعی منتظم می‌تواند گوشهٔ ایجادشده توسط برخی چندضلعی‌های منتظم دیگر را پر کند:

3.12.12

4.6.12

3.3.4.12

3.4.3.12

۳ مثال از کاربرد دوازده‌ضلعی منتظم در کاشی‌کاری در زیر ارائه شده است:

الگو:سخکاشی‌کاری نیمه‌منتظم ۳٫۱۲٫۱۲

الگو:سخکاشی‌کاری نیمه‌منتظم ۴٫۶٫۱۲

الگو:سخکاشی‌کاری غیرمنتظم ۳٫۳٫۴٫۱۲ و ۳٫۳٫۳٫۳٫۳٫۳