دایره بوسان

یک دایره بوسان

دایره‌های نوسانی مارپیچ ارشمیدسی، تودرتو با قضیه تایت-کنسر. مارپیچ به خودی خود رسم نشده‌است: ما آن را به عنوان مکان نقاطی می‌بینیم که در آن دایره‌ها به خصوص به یکدیگر نزدیک هستند.

در هندسه دیفرانسیلی منحنی‌ها، دایره بوسان الگو:به انگلیسی منحنی به اندازه کافی هموار در یک نقطه معین p روی منحنی به‌طور سنتی به عنوان دایره گذرنده از p و یک جفت نقطه اضافی روی منحنی به‌طوربی‌کران‌خُرد نزدیک به p تعریف شده‌است. مرکز آن روی خط نرمال داخلی قرار دارد و انحنای آن انحنای منحنی داده‌شده را در آن نقطه مشخص می‌کند. این دایره، که یکی از دایره‌های مماس در نقطه داده شده‌است که بیشتر به منحنی تنگاتنگ نزدیک می‌شود، توسط لایبنیتس circulus osculans (لاتین به‌معنای "دایره بوسیدن") نام گرفت.

مرکز و شعاع دایره بوسان در یک نقطه معین را مرکز انحنا و شعاع انحنای منحنی در آن نقطه می‌نامند. یک ساختار هندسی توسط اسحاق نیوتن در اصول خود شرح داده شده‌است: الگو:گفتاورد

رابطه ریاضیاتی

T_(s) برداری مماس بر جهت حرکت (سرعت جسم) در هر لحظه است و N_(s) نیز برداری عمود بر T است.

می توان نوشت:$$\hat{T}=\frac{\overrightarrow{dr}}{\left|\overrightarrow{dr}\right|},\frac{d\hat{T}}{\overrightarrow{dr}}=\overrightarrow{\kappa }\hat{N},R(s)=\frac{1}{\left|\overrightarrow{\kappa }\right|}$$الگو:Math: بردار یکه(واحد) مماس بر حرکت

الگو:Math: جا به جایی کوچک (دیفرانسیلی)

الگو:Math: بردار یکه عمود بر حرکت

κ(s): شعاع انحنای مسیر

الگو:Math: شعاع دایره بوسان (دایره ای که در هر لحظه مماس به مکانی است که جسم در آن است)

اگر برداری دوبعدی با این مولفه ها مفروض باشد: $\gamma (t)=\left[\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right]$

شعاع انحنا ،جهت عمود بر حرکت الگو:Math و شعاع دایره بوسان الگو:Math را این گونه می توان بدست آورد:

$$k(t)=\frac{{x_1}^{\prime }(t){x_2}^{″}(t)-{x_1}^{″}(t){x_2}^{\prime }(t)}{{({x_1}^{\prime }{\left(t\right)}^2+{x_2}^{\prime }{\left(t\right)}^2)}^{3/2}},N(t)=\frac{1}{{({x_1}^{\prime }{\left(t\right)}^2+{x_2}^{\prime }{\left(t\right)}^2)}^{1/2}}\left[\begin{array}{c}-{x_2}^{\prime }(t)\\ {x_1}^{\prime }(t)\end{array}\right]$$$$R(t)=\left|\frac{{({x_1}^{\prime }{\left(t\right)}^2+{x_2}^{\prime }{\left(t\right)}^2)}^{3/2}}{{x_1}^{\prime }(t){x_2}^{″}(t)-{x_1}^{″}(t){x_2}^{\prime }(t)}\right|$$اگر معادله مسیر به صورت الگو:Math مشخص باشد می توان شعاع دایره بوسان را اینگونه نیز نوشت: $R(t)=\frac{1+f{\text{'}}^2}{\mid f^{″}\mid }$

جستارهای وابسته

• قضیه بسته‌بندی دایره
• منحنی بوسان
• کره بوسان

بیشتر خواندن

برای برخی از یادداشت‌های تاریخی در مورد مطالعه انحنا، نگاه کنید به الگو:چپ‌چین

• الگو:Cite book
• الگو:Cite book

الگو:پایان چپ‌چین برای کاربرد در وسایل نقلیه مانور را ببینید الگو:چپ‌چین

• JC Alexander and JH Maddocks (1988): On the maneuvering of vehicles الگو:DOI
• الگو:Cite book

پیوند به بیرون

• Weisstein, Eric W. "Osculating Circle". MathWorld.
• math3d : osculating_circle