حدس کرامر

قضیه کرامر نام قضیه‌ای است در ریاضیات که توسط هارالد کرامر در سال ۱۹۳۶ مطرح شده است.

قضیه

اگر $p_n$ n امین عددِ اول باشد، آن‌گاه:

$p_{n+1}-p_n=O((\log p_n{)}^2),$

یا به‌عبارتی

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{(\log p_n{)}^2}=1,$

تلاش‌ها برای اثبات

در سال ۱۹۵۰، دنیل شانک فرضیه‌ای قوی‌تر از قضیهٔ کرامر را مطرح کرد. او این طور قضیهٔ کرامر را بررّسی کرد و بیان کرد اگر قضیه کرامر درست باشد، آن‌گاه:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{(\log p_n{)}^2}=c,$ with $c=1.$

او گفت: ممکن نیست ثابت c برای همهٔ اعداد اوّل اعمال شود، بنابراین او برای اعداد اوّل کوچک حدس زد:

$c\ge 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\dots$

که در آن $\gamma$ ثابتِ اویلر است.

منابع

• الگو:یادکرد ویکی