تابع چبیشف

تابع چبیشف

در ریاضیات، تابع چبیشف توسط پافنوتی چبیشف تعریف شد. تابع چبیشف به دو شکل مطرح است.

تعریف تابع

تابع اولیهٔ چبیشف را با علامت ϑ یا θ نشان می‌دهند و به شکل زیر تعریف می‌شود.

$\vartheta (x)=\sum _{p\le x}\ln p$

برای مثال

$\vartheta (20)=ln(2)+ln(3)+ln(5)+ln(7)+ln(11)+ln(13)+ln(17)+ln(19)=16.08....$

تابع ثانویه چبیشف را با علامت ψ نشان می‌دهند و به شکل زیر تعریف می‌شود.

$\psi (x)=\sum _{p^k\le x}\log p$

برای مثال

$\psi (20)=ln(2)+ln(3)+ln(2)+ln(5)+ln(7)+ln(2)+ln(3)+ln(11)+ln(13)+ln(2)+ln(17)+ln(19)=19.26...$

روابط

$\psi (x)=\sum _{p^k\le x}\log p=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)=\sum _{p\le x}\lfloor {\log }_{p}x\rfloor \log p,$

در این‌جا، $\mathrm{\Lambda }(n)$ تابع منگولد است.

$\psi (x)=\sum _{p\le x}k\log p$

$\vartheta (x)=\sum _{p\le x}\log p=\log \prod _{p\le x}p=\log (x\mathrm{\#}).$