اشتراک (نظریه مجموعه‌ها)

الگو:Infobox mathematical statement مجموعهٔ شامل عضوهای مشترک دو مجموعه را اشتراک آنها می‌نامیم و آن را با نماد ∩ نشان می‌دهیم مثل : A∩B

تعریف

اگر S مجموعه‌ای ناتهی از مجموعه‌ها باشد و $X\in S$ عضو دلخواهی از S، اشتراک همه اعضای S که آن‌را با $\bigcap S$ یا $\bigcap _{A\in S}A$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$\bigcap S:=\bigcap _{A\in S}A:=\{y\in X:\mathrm{\forall }A\in S,y\in A\}$

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست.

اشتراک "صفر"تا مجموعه در حالت کلی تعریف نمی‌شود؛ اما در یک مسئله خاص اگر مجموعه مرجع U باشد، تعریف می‌شود $\bigcap \varphi :=U$.

اشتراک دو مجموعه دلخواه A و B را با $A\cap B$ نشان داده و می‌خوانیم "A اشتراک B". اشتراک سه مجموعه A، B و C را با $A\cap B\cap C$،... و اشتراک n مجموعه $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ را با $A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n$ نشان می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

$A_1\cap A_2\cap \cdots A_n=(A_1\cap A_2\cap \cdots A_{n-1})\cap A_n$

خواص اشتراک

مهم‌ترین ویژگی اشتراک دسته‌ای از مجموعه‌ها این است که زیرمجموعه همه آن‌هاست. فی‌الواقع اشتراک آنها بزرگ‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اجتماع دو مجموعه A و B را با $A\cup B$ نشان دهیم، به ازای هر سه مجموعه A، B و C داریم:

$A\cap A=A$

$A\cap B=B\cap A$

$A\cap \varphi =\varphi \cap A=\varphi$

$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

$A\subseteq B$ اگر و تنها اگر $A\cap B=A$.

جستارهای وابسته

• اجتماع (مجموعه)

منابع

• Enderton, H. B. Elements of Set Theory, 2nd edition, ACADEMIC Press, Inc., 1977.