${\textstyle I(t)}$

${\textstyle I(0)=1}$

${\textstyle I(t)+S(t)=N=1000=\mathrm {const} }$

${\textstyle I(t)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=c\cdot N\cdot I(t)\left(1-{\frac {I(t)}{N}}\right)}$

Die Lösung dieser DGL lautet in geschlossener Form:

${\displaystyle I(t)={\frac {N\cdot \exp \left(c\cdot N\cdot t\right)}{N+\exp \left(c\cdot N\cdot t\right)-1}}}$

mit der Exponentialfunktion ${\textstyle \exp(c\cdot N\cdot t)=e^{c\cdot N\cdot t}}$. ${\textstyle I(t)}$ ist die de:logistische Funktion für den speziellen Fall ${\textstyle I(0)=1}$. Die Funktion ${\textstyle I(t)}$ ist hier für ${\textstyle c=0,00015}$ (blau) sowie ${\textstyle c=0,0001}$ (rot) dargestellt. Man sieht anschaulich, dass ${\textstyle I(t)}$ gegen ${\textstyle N}$ konvergiert, d. h. im Verlauf des Krankheitsgeschehens werden stets alle Individuen infiziert.