عملگر لاپلاس

الگو:حساب دیفرانسیل و انتگرال در ریاضیات و فیزیک، عملگر لاپلاس الگو:به انگلیسی یا لاپلاسین الگو:به انگلیسی که با ∇·∇، ^۲∇ یا Δ نمایش داده می‌شود، یکی از مهم‌ترین عملگرهای بیضوی به شمار می‌رود. این عملگر در بسیاری از معادله‌های فیزیکی ظاهر می‌شود که از آن جمله می‌توان به معادلهٔ موج، معادلهٔ شرودینگر و معادلهٔ حرارت اشاره کرد.

تعریف

عملگر لاپلاس عملگر دیفرانسیلی مرتبه دوم است که بر فضای n-بعدی اقلیدسی عمل می‌کند و برابر است با دیورژانس گرادیان یک تابع؛ بنابراین اگر f تابعی حقیقی و دو بار مشتق‌پذیر باشد، آنگاه:

$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f$   (۱)

عملگر لاپلاس در دستگاه مختصات دکارتی به شکل زیر تعریف می‌شود:

$\mathrm{\Delta }f=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i^2}$   (۲)

جستارهای وابسته

• معادله_هلمهولتز
• عملگر دیفرانسیلی (دِل)
• گرادیان
• دیورژانس
• کرل

منابع

• الگو:یادکرد-ویکی