عدد گویا

ا**عداد گویا** ( $ℚ$ ) زیرمجموعهٔ اعداد حقیقی ( $ℝ$ ) هستند. از سوی دیگر؛ آن‌ها اعداد غیرصحیح ( $ℤ$ ) را زیر مجموعهٔ خود دارند، که آن‌هم به‌نوبهٔ خود اعداد طبیعی ( $ℕ$ ) را زیر مجموعهٔ خود دارد.

عدد گویا یا عدد کسری الگو:به انگلیسی در علم ریاضیات، عددی است که می‌تواند به صورت کسر $\frac{p}{q}$ (یا $p / q$ ) از دو عدد صحیح $p$ و $q$ ( به طوری که $p$ صورت کسر و $q$ مخرج کسر باشد.) بیان شود.^[۱] به عبارت دیگر، اعداد گویا کسرهایی هستند که از تقسیم عدد صحیح بر عدد صحیح دیگر (به جز صفر) پدید آمده باشد.^[۲] از آن‌جایی که $q$ می‌تواند برابر با عدد یک باشد؛ پس تمامی اعداد صحیح، طبیعی و حسابی، عدد گویا نیز هستند.

نماد ریاضی اعداد گویا

مجموعه اعداد گویا معمولاً با حرف $ℚ$ نمایش داده می‌شوند که به انتخابِ جوزپه پئانو از ابتدای کلمهٔ ایتالیاییِ quoziente، به‌معنای خارج‌قسمت، اخذ شده‌است.^[۳]

تعریف

به‌طور کلی می‌توان مجموعه اعداد گویا را بدین صورت تعریف کرد: اگر ما یک عدد طبیعی داشته باشیم و آن را (مثلا $x$ ) بر دیگری (مثلا $y$ ) تقسیم کنیم؛ به طوری که (یا به شرطی که) هم $x$ (صورت) و هم $y$ (مخرج) عضو مجموعه اعداد صحیح ( $ℤ$ ) باشند؛ و $y$ (مخرج) برابر با صفر نباشد؛ آنگاه نسبت $x$ به $y$ (کسر مورد نظر) عددی گویا خواهد بود.^[۴] $ℚ = {\frac{x}{y} ∣ x, y \in ℤ, y \neq 0}$

نکات مهم

اجتماع مجموعه اعداد گویا $ℚ$ و اعداد گنگ $ℚ^{c}$ (یعنی متمم اعداد گویا) برابر با مجموعه اعداد حقیقی است؛ و همچنین اشتراک این دو مجموعه برابر با $\emptyset$ (تهی) می‌‌باشد:

الگو:وسط‌چین $ℚ \cup ℚ^{c} = ℝ$ الگو:سخ $ℚ \cap ℚ^{c} = \emptyset$ الگو:پایان وسط‌چین

تمامی اعداد حقیقی که گویا نباشند؛ گنگ هستند.

نسبت $\frac{\sqrt{3}}{2}$ با اینکه یک کسر است؛ اما یکی از شروط اعداد گویا این است که صورت و مخرج، عددی صحیح باشند؛ در صورتی که صورت یا مخرج، عددی رادیکالی باشد و جذر آن کامل نباشد؛ حاصل رادیکال عددی گنگ خواهد بود. پس این کسر، یک عدد گنگ است. اما نسبت $\frac{\sqrt{4}}{2}$ یک عدد گویا می‌باشد؛ زیرا حاصل صورت این کسر جذر کامل می‌باشد.

اعداد صحیح، طبیعی و حسابی ، زیر مجموعه‌ای از اعداد گویا هستند. زیرا مخرج تمامی آنها برابر با یک است. (به عبارت ساده‌تر همانطور که می‌دانیم مخرج ۱ هیچ تاثیری در ماهیت عدد ندارد؛ یعنی اگر ما یک عدد دلخواه مانند $x$ را داشته باشیم و به مخرج آن ۱ بدهیم؛ کسر با صورت $x$ و مخرج ۱، هیچ تفاوتی با خود عدد $x$ نخواهد داشت. که به صورت ریاضی $\frac{x}{1} = x$ می‌شود.) بنابراین می‌توانیم با دادن عدد یک به مخرج هر یک از آنها کسری داشته باشیم که تمامی شرایط یک عدد گویا را دارد؛

اعداد اعشاری را می‌توان جزو اعداد گویا به حساب آورد؛ زیرا هر عدد اعشاری را می‌توان به صورت کسری نوشت که مخرج آن یکی از توان‌های مثبت ۱۰ و صورت آن یک عدد صحیح باشد. برای نمایش آنان روی محور می‌توان آنان را به کسر تبدیل نمود :

$\frac{x}{1 0^{n}} \in ℚ$ $\Rightarrow$ $x \in ℤ$ , $n \in ℕ$

بین دو عدد گویا بی‌نهایت عدد گویا وجود دارد. اعداد گویا از منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت ادامه دارند.

بین دو عدد گنگ بی شمار عدد گنگ وجود دارد.

مقایسه

برای مقایسه اعداد گویای مثبت، پس از هم مخرج کردن، صورت‌هایشان مورد مقایسه قرار می‌گیرد؛ صورت هر کدام که بزرگتر بود، آن عدد بزرگتر است. برای هم مخرج کردن، صورت و مخرج هر یک از اعداد گویا در مخرج دیگری ضرب می‌شود.

نکته: بین دو عدد گویای مثبت که صورتشان برابر است، عددی که مخرجش کوچکتر باشد، از عدد دیگر بزرگتر است.

برای مقایسه دو عدد گویای $\frac{a}{b}$ و $\frac{c}{d}$ به‌صورت زیر مخرج‌ها یکی می‌شوند: الگو:وسط‌چین $\frac{a}{b} = \frac{a \times d}{b \times d}, \frac{c}{d} = \frac{c \times b}{d \times b}$ الگو:پایان وسط‌چین

سپس صورت دو کسر به‌دست‌آمده مورد مقایسه قرار می‌گیرند: $a \times d ? c \times b$

مثال

دو عدد $\frac{5}{11}$ و $\frac{3}{7}$ به‌صورت زیر مقایسه می‌شوند:

الگو:وسط‌چین $\frac{3}{7} = \frac{3 \times 11}{7 \times 11} = \frac{33}{77}, \frac{5}{11} = \frac{5 \times 7}{11 \times 7} = \frac{35}{77} \Rightarrow 33 < 35 \Rightarrow \frac{3}{7} < \frac{5}{11}$ الگو:پایان وسط‌چین

اعمال اصلی ریاضی

جمع و تفریق

برای جمع و تفریق اعداد گویا ابتدا مخرج کسرها یکسان شده، سپس صورت‌ها با هم جمع یا تفریق می‌شوند:

الگو:وسط‌چین $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a d \pm b c}{b d}$ الگو:پایان وسط‌چین

مثال

الگو:وسط‌چین $\frac{4}{3} + \frac{2}{5} = \frac{20 + 6}{15} = \frac{26}{15}$

$\frac{5}{6} - \frac{5}{4} = \frac{20 - 30}{24} = \frac{- 10}{24}$ الگو:پایان وسط‌چین

ضرب

برای ضرب اعداد گویا، صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها نیز در هم ضرب می‌شوند. الگو:وسط‌چین $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$ الگو:پایان وسط‌چین

مثال

الگو:وسط‌چین $\frac{2}{5} \cdot \frac{14}{35} = \frac{2 \times 14}{5 \times 35} = \frac{28}{175}$ الگو:پایان وسط‌چین

تقسیم

برای تقسیم دو عدد گویا، عدد اول را در معکوس عدد دوم ضرب می‌شود. الگو:وسط‌چین $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} . \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c}$ الگو:پایان وسط‌چین

مثال

الگو:وسط‌چین $\frac{5}{7} \div \frac{3}{5} = \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5 \times 5}{7 \times 3} = \frac{25}{21}$ الگو:پایان وسط‌چین

توزیع پذیری منفی و قرینه کسر

برای توزیع پذیری علامت منفی پشت پرانتز به کسر داخل پرانتز، کافی است؛ که پرانتز را حذف کنیم؛ و صورت یا مخرج کسر را قرینه نماییم. الگو:وسط‌چین $- (\frac{a}{b}) = \frac{- a}{b} = \frac{a}{- b}$ الگو:پایان وسط‌چین

مثال

الگو:وسط‌چین $- (\frac{7}{12}) = \frac{- 7}{12} = \frac{7}{- 12}$ الگو:پایان وسط‌چین

توان منفی کسر

اگر کسری را به توان عددی منفی برسانیم؛ برای اینکه بتوانیم توانی مثبت داشته باشیم؛ فقط کافی است که، کسر مذکور را معکوس نموده و خود توان را قرینه نماییم. الگو:وسط‌چین ${(\frac{x}{y})}^{- n} = (\frac{y}{x})^{n}$ الگو:پایان وسط‌چین

مثال

الگو:وسط‌چین ${(\frac{3}{5})}^{- 2} = (\frac{5}{3})^{2}$ الگو:پایان وسط‌چین

توزیع پذیری توان نسبت به صورت و مخرج در کسر

اگر ما کسری داشته داشته باشیم و کل کسر را به توان عددی طبیعی برسانیم؛ برای توزیع پذیری توان به صورت جداگانه نسبت به صورت و مخرج، فقط کافی است؛ که به طور جداگانه هم صورت و هم مخرج کسر را به توان همان عدد برسانیم. الگو:وسط‌چین ${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$ الگو:پایان وسط‌چین

مثال

الگو:وسط‌چین ${(\frac{10}{17})}^{3} = \frac{1 0^{3}}{1 7^{3}}$ الگو:پایان وسط‌چین

توان صفر

اگر عدد یا کسری به غیر از صفر به توان صفر برسد؛ آنگاه حاصل برابر با ۱ خواهد شد.( 0 ≠ $x$ ) الگو:وسط‌چین ${(\frac{x}{y})}^{0} = 1$ الگو:پایان وسط‌چین