تابع نمایی

تابع نمائی $y=e^x$

الگو:جعبه عدد e تابع نِمایی یا نموی الگو:به انگلیسی، تابعی مهم در ریاضیات است و معمولاً به‌صورت الگو:چر$\exp (x)$الگو:چر یا $e^x$ نوشته می‌شود که $e$ عدد اویلر (ثابت نپر) با مقدار تقریبیِ ۲/۷۱۸۲۸۱۸۲۸ است.

در واقع، تابع لگاریتم، عکس تابع نمایی است.

البته، این تابع را می‌توان به صورت $a^x$ نیز تعریف کرد. استفاده از لگاریتم نشان می‌دهد که:

$a^x=(e^{\ln a}{)}^x=e^{x\ln a}$

این تابع را تابع نمایی با پایهٔ $a$ می‌خوانیم که $a$ عددی ثابت است.

در بسیاری از علوم، وقتی از تابع نمایی صحبت می‌شود، منظور تابع $k{a}^x$ است.

عموماً متغیر $x$ می‌تواند هر عدد حقیقی یا مختلط باشد. به عبارت دیگر، معکوس $\ln (y)=x$ را $\exp (x)=e^x=y$ گویند.

قرینۀ تابع نمایی

تابع $a^{-x}$ قرینه تابع $a^x$ می‌باشد.

$y=a^{-x}=(\frac{1}{a}{)}^x$

نکته: این دو تابع نسبت به محور $y$ها قرینۀ یکدیگر هستند.

تابع $-a^x$ قرینه تابع $a^x$ می‌باشد.

نکته: این دو تابع نسبت به محور $x$ها قرینۀ یکدیگر هستند.

ویژگی‌ها

• تابع نمایی، معکوسِ تابع لگاریتم طبیعی $y=\ln (x)$ است.
• دامنۀ آن تمام اعداد حقیقی است.
• برد آن تمام اعداد مثبت است.
• مشتق آن همواره با خودش برابر یا بزرگ‌تر و تابعی پیوسته و صعودی از $x$ است.

نمودار تابع نمایی دو حالت کلّی دارد؛ مثلاً:

• وقتی $a$ کوچک‌تر از 1 است، با افزایش $x$، مقدار $y$ کاهش می‌یابد.
• وقتی $a$ بزرگ‌تر از 1 است، با افزایش $x$، مقدار $y$ افزایش می‌یابد.

کاربرد

توابع نمایی در زمینه‌هایی چون اقتصاد و زیست‌شناسی کاربردهای فراوانی دارد. از این‌رو، توابع نمایی و مسائل مربوط به رشد و زوال می‌توانند برای نمایش کاربردهای ریاضی در مسائل زندگی واقعی سودمند باشند.

کسر مسلسل تابع $e^x$

برای تابع $e^x$ می‌توان کسری را به صورت زیر معرفی کرد:

$e^x=1+\frac{x}{1-\frac{x}{x+2-\frac{2x}{x+3-\frac{3x}{x+4-\ddots }}}}$

مثال

یک هنرمند، درخت چوبی را با استفاده از تعدادی قطعهٔ چوبِ شاخه‌مانند ساخته است. بدین‌ترتیب، روی دسته‌های شاخهٔ اصلی، شاخه‌های دیگری ساخت و این کار را تا هشت سطح ادامه داد. جدول عملکرد وی به‌صورت زیر است:

توانِ ۲	تعداد شاخه‌ها	سطح
$2^0$	$1$	اصلی
$2^1$	$2$	اوّل
$2^2$	$2\times 2=4$	دوم
$2^3$	$2\times 2\times 2=8$	سوم
$2^4$	$2\times 2\times 2\times 2=16$	چهارم
$2^5$	$2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$	پنجم
$2^6$	$2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=64$	ششم
$2^7$	$2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=128$	هفتم
$2^8$	$2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=256$	هشتم

رابطهٔ بین توان و تعداد شاخه‌ها برابر است با: $2^8=256$

نگارخانه

• 
• 
• 

جستارهای وابسته

• رئوس مطالب توابع نمایی
• رشد نمایی

منابع

• الگو:یادکرد-ویکی

پیوند به بیرون

• مثال‌های عملی از تابع نمایی