انتگرال چندگانه

انتگرال دوگانه برای بدست آوردن حجم محصور در زیر توابعی به کار می‌رود که دو متغیر دارند.

انتگرال چندگانه الگو:به انگلیسی گونه‌ای از انتگرال‌های معین است که در تابع‌هایی که بیش از یک متغیر حقیقی دارند، مانند الگو:عبارت چپچین یا الگو:عبارت چپچین به کار می‌رود. انتگرال تابعی با دو متغیر بر روی ناحیه‌ای از ℝ^۲ انتگرال دوگانه (Double Integral) نام دارد.

روش نمایش

توابع با بیش از یک متغیر را با $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ یا $f(x,y,z,t)$ نمایش می‌دهند.

و روش نمایش انتگرال چندگانه به صورت زیر است:

$\iint \dots \underset{𝐃}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)𝐝x_1𝐝x_2\dots 𝐝x_n$

انتگرال‌های چندگانه

انتگرال دوگانه: معرف حجم زیر تابع است که دو متغیر دارد. مثلاً:

$\iint f(x,y)dxdy$

انتگرال سه گانه: معرف پارالل زیر نمودار (می‌توان آن را نوعی ضرب حجم در زمان گرفت) است مثلاً\

$\underset{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{d}}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz$

تعریف ریاضی

در نظر بگیرید که برای n> 1 بازهٔ «نیمه باز» و n بُعدی T به صورت زیر تعریف شده است: الگو:چپ‌چین

$T=[a_1,b_1)\times [a_2,b_2)\times \cdots \times [a_n,b_n)\subseteq {ℝ}^n.$

الگو:پایان چپ‌چین هر بازهٔ الگو:عبارت چپچین را به.

تبدیل انتگرال چندگانه به انتگرال خطی

برای انواع مختلف تابع این روش متفاوت می‌باشد ولی راحترینش برای توابع مستطیلی (توابعی سه بعدی که x و y آنها به هم ارتباط نداشته باشد) است که به راحتی اول از این تابع یک انتگرال خطی برحسب یکی از متغیرها گرفته می‌شود و سپس از تابع دوم (که دارای یکی دیگر از متغیرهاست) برحسب متغیر دوم انتگرال خطی گرفته می‌شود.

اما برای توابعی که مستطیلی نیستند از نظریه‌های متفاوتی استفاده می‌شود منجمله: قضیه دیورژانس٬قضیه گرین و...

روش انتگرال گیری

جستارهای وابسته

• انتگرال
• حساب
• انتگرال خطی
• کاربرد انتگرال‌ها

منابع

• ویکی‌پدیای انگلیسی

پیوند به بیرون

• Mathematical Assistant on Webالگو:پیوند مرده online evaluation of double integrals in Cartesian coordinates and polar coordinates (includes intermediate steps in the solution, powered by مکسیما)