تبدیل فوریه زمان-گسسته

الگو:تبدیل فوریه تبدیلِ فوریهٔ زمان-گسسته‌ الگو:انگلیسی یکی از انواع تبدیل فوریه است. با استفاده از این تبدیل، تابعی که معمولاً در حوزه زمان تعریف می‌شود و گسسته است به تابعی دیگر در حوزه فرکانس تبدیل می شود (تابع ورودی برای تبدیل DTFT باید گسسته باشد). این تابع یا سیگنال ورودی معمولاً با نمونه‌برداری از یک تابع پیوسته مانند صدای انسان پدید می‌آیند.

تعریف

اگر $x[n],n\in \mathbb{Z}$ تابعی گسسته با مقادیر حقیقی یا مختلط باشد، آنگاه تبدیل گسسته زمانی فوریه آن چنین تعریف می‌شود:

$X(\omega )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]e^{-i\omega n}$

جدول تبدیل گسسته‌زمان فوریه

حوزه زمانالگو:سخ$x[n]$	حوزه فرکانسالگو:سخ$X(\omega )$	توضیحات
$\delta [n]$	$1$
$\delta [n-M]$	$e^{-i\omega M}$	M عدد صحیح
$\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta [n-Mm]$	$\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-i\omega Mm}=\frac{1}{M}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\frac{\omega }{2\pi }-\frac{k}{M})$	M عدد صحیح
$u[n]$	$\frac{1}{1-e^{-i\omega }}$
$e^{-ian}$	$2\pi \delta (\omega +a)$	a عدد حقیقی
$\cos (an)$	$\pi [\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)]$	a عدد حقیقی
$\sin (an)$	$\frac{\pi }{i}[\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)]$	a عدد حقیقی
$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left[\frac{(n-M/2)}{M}\right]$	$\frac{\sin [\omega (M+1)/2]}{\sin (\omega /2)}{e}^{-i\omega M/2}$	M عدد صحیح
$\mathrm{sinc}[(a+n)]$	$e^{ia\omega }$	a عدد حقیقی
$W\cdot {\mathrm{sinc}}^2(Wn)$	$\mathrm{tri}\left(\frac{\omega }{2\pi W}\right)$	عدد حقیقی Wالگو:سخ$0<W\le 0.5$
$W\cdot \mathrm{sinc}[W(n+a)]$	$\mathrm{rect}\left(\frac{\omega }{2\pi W}\right)\cdot e^{ja\omega }$	اعداد حقیقی W, aالگو:سخ$0<W\le 1$
$\{\begin{array}{cc}0& n=0\\ \frac{(-1{)}^n}{n}& \text{elsewhere}\end{array}$	$j\omega$	فیلتر مشتق‌گیر
$\frac{W}{(n+a)}\{\cos [\pi W(n+a)]-\mathrm{sinc}[W(n+a)]\}$	$j\omega \cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\omega }{\pi W}\right)e^{ja\omega }$	اعداد حقیقی W, aالگو:سخ$0<W\le 1$
$\frac{1}{\pi n^2}[(-1{)}^n-1]$	$|\omega |$
$\{\begin{array}{cc}0;& n\text{ odd}\\ \frac{2}{\pi n};& n\text{ even}\end{array}$	$\{\begin{array}{cc}j& \omega <0\\ 0& \omega =0\\ -j& \omega >0\end{array}$	تبدیل هیلبرت
$\frac{C(A+B)}{2\pi }\cdot \mathrm{sinc}\left[\frac{A-B}{2\pi }n\right]\cdot \mathrm{sinc}\left[\frac{A+B}{2\pi }n\right]$		اعداد حقیقی A, Bالگو:سخعدد مختلطC