تصاعد حسابی

در ریاضیات دنباله حسابی یا تصاعد حسابی الگو:به انگلیسی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که اختلاف هر دو جمله متوالی آن مقداری ثابت، مثلاً $d$ باشد. به عدد ثابت $d$ قدر نسبت تصاعد گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۳، ۵، ۷، ۹، ۱۱، ۱۳، … یک تصاعد حسابی از اعداد با قدر نسبت ۲ می‌باشد.

اگر جمله اول یک دنباله حسابی $a_{1}$ و قدر نسبت آن $d$ باشد آنگاه جملهٔ $i$ ام این تصاعد برابر خواهد بود با

الگو:وسط‌چین $a_{i} = a_{1} + (i - 1) d$ .الگو:پایان

در حالت کلی رابطهٔ دنباله حسابی برای جمله‌های $n$ ام و $m$ ام خواهد بود: الگو:وسط‌چین $a_{n} = a_{m} + (n - m) d$ الگو:پایان مقدار $d$ می‌تواند مثبت یا منفی باشد که در صورت مثبت بودن آن، دنباله به سمت بینهایت مثبت میل می‌کند و در صورت منفی بودن $d$ ، دنباله به سوی منفی بینهایت می‌رود. همچنین تعداد جملات در تصاعد حسابی اینگونه بدست می آید:((اولی-اخری)÷ فاصله) به علاوه دو

تشخیص دنباله حسابی

برای تشخیص دنباله حسابی کافیست دو جمله متوالی از هم کم کنیم.

$a_{4} - a_{3} = a_{3} - a_{2}$

اگر به مقدار ثابتی رسیدیم، دنباله حسابی است.

مثال: آیا دنباله زیر حسابی است؟

$10, 7.5, 5, 2.5, . . .$

جواب

$a_{4} - a_{3} = 2.5 - 5 = - 2.5$

$a_{3} - a_{2} = 5 - 7.5 = - 2.5$

دو مقدار بالا ثابت است پس دنباله حسابی است.

واسطه حسابی

اگر $a, b, c$ سه جمله متوالی دنباله حسابی باشند. برای پیدا کردن جمله وسط (واسطه حسابی) کافیست از فرمول زیر استفاده کنیم:

$b = \frac{a + c}{2}$

مثال: $x$ را بیابید؟ (سه جمله زیر جملات متوالی دنباله حسابی هستند)

$4 x - 1, x + 2, 2 - x$

حل:

$x + 2 = \frac{4 x - 1 + 2 - x}{2}$

$x = 3$

مجموع

مجموع اعضای یک دنبالهٔ محدود از اعداد با رابطهٔ تصاعد حسابی عبارت است از: الگو:وسط‌چین $S_{n} = a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) + \dots + (a_{1} + (n - 2) d) + (a_{1} + (n - 1) d)$ الگو:پایان

الگو:وسط‌چین $S_{n} = (a_{n} - (n - 1) d) + (a_{n} - (n - 2) d) + \dots + (a_{n} - 2 d) + (a_{n} - d) + a_{n} .$ الگو:پایان

با جمع طرفین دو عبارت فوق:

الگو:وسط‌چین $2 S_{n} = n (a_{1} + a_{n}) .$ الگو:پایان

در نتیجه:

الگو:وسط‌چین $S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} = \frac{n [2 a_{1} + (n - 1) d]}{2} .$ الگو:پایان برای نمونه اگر فرض کنیم که جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه مجموع ۵۰ جملهٔ اول برابر با ۶۲۷۵ خواهد بود: الگو:وسط‌چین $S_{50} = \frac{50}{2} [2 (3) + (49) (5)] = 6, 275 .$ الگو:پایان

ضرب

اگر در نظر بگیریم که جملهٔ اول یک تصاعد حسابی $a_{1}$ نام دارد و قدر نسبت تصاعد $d$ است؛ آنگاه حاصل ضرب جمله‌های آن تصاعد در یکدیگر، عبارت است از: الگو:چپ‌چین

a_{1} a_{2} \dots a_{n} = d^{n} {(\frac{a_{1}}{d})}^{\overline{n}} = d^{n} \frac{Γ (a_{1} / d + n)}{Γ (a_{1} / d)},

الگو:پایان چپ‌چین که در آن $x^{\overline{n}}$ نماد افزایش فاکتوریل و $Γ$ نماد تابع گاما است. (هشدار: فرمول بدست آمده به ازای $a_{1} / d$ کوچکتر مساوی صفر، نادرست خواهد بود)

فرمول بدست آمده در بالا، حالت کلی رابطهٔ حاصل ضرب $1 \times 2 \times \dots \times n$ است که آن را با $n!$ فاکتوریل نمایش می‌دهیم و در صورتی که شروع ضرب از بجای یک از عدد دلخواه $m$ باشد: الگو:چپ‌چین

m \times (m + 1) \times (m + 2) \times \dots \times (n - 2) \times (n - 1) \times n

الگو:پایان چپ‌چین در صورتی که $m$ و $n$ اعداد طبیعی باشند، حاصل ضرب عبارت خواهد بود از: الگو:چپ‌چین

\frac{n!}{(m - 1)!} .

الگو:پایان چپ‌چین برای درک بهتر مطلب، مثال گفته شده در بالا را در نظر بگیرید، که در آن جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه حاصل ضرب ۵۰ جملهٔ اول برابر خواهد بود با: الگو:چپ‌چین

P_{50} = 5^{50} \cdot \frac{Γ (3 / 5 + 50)}{Γ (3 / 5)} \approx 3.78438 \times 1 0^{98}

الگو:پایان چپ‌چین

نمونهٔ دیگر

تصاعد حسابی زیر را در نظر بگیرید: الگو:چپ‌چین

a, (a + d), (a + 2 d), . . . . . . . . . . . . . . . . . (a + (n - 1) d)

الگو:پایان چپ‌چین حاصل ضرب سه جملهٔ اول این تصاعد عبارت است از: الگو:چپ‌چین

a (a + d) (a + 2 d)

$= (a^{2} + a d) (a + 2 d)$ $= a^{3} + 3 a^{2} d + 2 a d^{2}$ الگو:پایان چپ‌چین حال از روی ظاهر عبارت بالا می‌توان پاسخ را برای $n$ حدس زد: الگو:چپ‌چین

a^{n} + n a^{n - 1} d^{n - 2} + (n - 1) a^{n - 2} d^{n - 1}

الگو:پایان چپ‌چین مطالب گفته شده در بالا، به عنوان اثبات قابل پذیرش نیست و تنها برای درک بهتر بیان شد.

جمع‌بندی دنباله حسابی

مطالب بالا را در عکس زیر می‌توانید دوره کنید. الگو:Image frame

پانویس

آموزش دنباله حسابی «سیده فاطمه موسوی نطنزی»

جستارهای وابسته

منابع

الگو:پانویس

ریاضیات ۲، اسماعیل بابلیان، میرزا جلیلی، رضا شهریاری اردبیلی، علیرضا مدقالچی، اداره کل چاپ و توزیع کتاب‌های درسی، ۱۳۸۰ (کتاب رسمی وزارت آموزش و پرورش جمهوری اسلامی ایران برای سال دوم آموزش متوسطه در رشته نظری)

الگو:Cite book

پیوند به بیرون

ویدیوهای آموزشی تصاعد حسابی به زبان فارسی https://web.archive.org/web/20120920021841/http://kelasedars.org/?p=1611

الگو:چپ‌چین

الگو:پایان چپ‌چین الگو:سری‌ها (ریاضیات)

تصاعد حسابی

فهرست

تشخیص دنباله حسابی

جواب

واسطه حسابی

مجموع

ضرب

جمع‌بندی دنباله حسابی

پانویس

جستارهای وابسته

منابع

پیوند به بیرون

منوی ناوبری

تصاعد حسابی

تشخیص دنباله حسابی

جواب

واسطه حسابی

مجموع

ضرب

جمع‌بندی دنباله حسابی

پانویس

جستارهای وابسته

منابع

پیوند به بیرون

منوی ناوبری

جستجو