قاعده ایزومتری

الگو:بدون منبع قاعده ایزومتری، یک رابطه مهم در مورد انتگرال کاتوره ای ایتو است، که توسط Kiyoshi Itô کشف شده است. به یاری این قاعده می توان واریانس و کواریانس متغیرهای کاتوره ای ایتو را حساب کرد.

صورت کلی

گیریم که $W=(w_t{)}_{t\in [0,T]}$ فرایند وینر باشد و Xt و Yt متغیرهای کاتوره‌ای انتگرال‌پذیر ${ℱ}_t$-سازگار به فیلتراسیون طبیعی وینر ، آنگاه داریم :

$$E\left\{\right(\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_{t}d{w}_t{)}^2\}=\underset{0}{\overset{T}{\int }}E\{X_t^2\}dt$$که میانگین‌گیری بر روی اندازه احتمال وینر است، همچنین داریم:$$E\left\{\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_{t}d{w}_t\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_{t}d{w}_t\right\}=\underset{0}{\overset{T}{\int }}E\left\{X_t{Y}_t\right\}dt$$

اثبات: با گسسته‌سازی $[0,T]=\bigcup _{i=1}^N\{[t_i,t_{i+1}]\}$ که در آن $t_{i+1}-t_i=\mathrm{\Delta }t$ داریم:

$$E\left\{\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_{t}d{w}_t\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_{t}d{w}_t\right\}=E\sum _{i,j}{X}_{t_i}{Y}_{t_j}(w_{t_{i+1}}-w_{t_i})(w_{t_{j+1}}-w_{t_j})$$$$=\underset{=0}{\underbrace{E\sum _{i\ne j}{X}_{t_i}{Y}_{t_j}(w_{t_{i+1}}-w_{t_i})(w_{t_{j+1}}-w_{t_j})}}+E\sum _i{X}_{t_i}{Y}_{t_i}\underset{\mathrm{\Delta }{w}_t^2=\mathrm{\Delta }t}{\underbrace{(w_{t_{i+1}}-w_{t_i}{)}^2}}=E\sum _i{X}_{t_i}{Y}_{t_i}\mathrm{\Delta }t=E\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_t{Y}_{t}d{w}_t$$

قاعده ایزومتری برروی تابع

در حالت کلی‌تر، با استفاده از لم Stein، می‌توان نشان داد که:

$$E\left\{F\right(\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_{t}d{w}_t\left)\underset{0}{\overset{T}{\int }}{Y}_{t}d{w}_t\right\}=\underset{0}{\overset{T}{\int }}E\{F^{\prime }(X_t)\}dt\underset{0}{\overset{T}{\int }}E\left\{X_t{Y}_t\right\}dt$$که در آن $F^{\prime }$ مشتق تابع $F$ است.

اثبات:

$E\left\{F\right(\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_{t}d{w}_t\left)\underset{0}{\overset{T}{\int }}{Y}_{t}d{w}_t\right\}=E\{F({\xi }_1){\xi }_2\}\stackrel{(a)}{=}E\{F^{\prime }({\xi }_1)\}E\{{\xi }_1{\xi }_2\}=E\left\{F^{\prime }\right(\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_{t}d{w}_t\left)E\right\{\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_t{Y}_{t}d{w}_t\}$

اینجا نیاز به روشنگری است. برطبق لم Stein اگر ${\xi }_1$ و ${\xi }_2$ متغیرهای گاووسی با میانگین صفر باشند آنگاه $E\{F({\xi }_1){\xi }_2\}=E\{F^{\prime }({\xi }_1)\}E\{{\xi }_1{\xi }_2\}$

حال توجه داریم که ${\xi }_1=\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_{t}d{w}_t$ یک متغیر گاوسی با میانکین صفر (و البته واریانس $E\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_t^{2}dt$) است.