تناوب پیزانو

نموداری از ۱۰۰۰۰ تناوب اول پیزانو.

در نظریه اعداد، n امین تناوب پیزانو که به صورت (n)الگو:Pi نوشته می‌شود، تابع متناوبی است که با آن دنباله اعداد فیبوناچی که از هم نهشتی n ام گرفته شده، تکرار می‌شود. دوره‌های پیزانو به نام لئوناردو پیزانو که بیشتر به نام فیبوناچی شناخته می‌شود، نامگذاری شده است. وجود توابع تناوبی در اعداد فیبوناچی توسط جوزف لوئیس لاگرانژ در سال ۱۷۷۴ مورد توجه قرار گرفت.

تعریف

اعداد فیبوناچی اعداد موجود در دنباله اعداد صحیح به شرح زیر هستند:

۰, ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴, ۴۱۸۱, ۶۷۶۵, ۱۰۹۴۶, ۱۰۹۴۶ … الگو:OEIS

برای n = ۳، نمودار بالا تجسم دوره پیزانو در فضای حالت دو بعدی رابطه بازگشتی است. محورها را می‌توان «قبلی» و «جاری» نامید. حرکت در نقطه (قبلی، فعلی) = (۰، ۱) با رنگ قرمز آغاز می‌شود و سپس از طریق رنگ‌های رنگین کمان در نهایت به (۱، ۰) می‌رسد و سپس به (۰، ۱) بازمی‌گردد؛ یعنی (۳)$\pi$ = ۸.

که با رابطه بازگشتی به صورت زیر تعریف شده است:

$F_0=0$

$F_1=1$

$F_i=F_{i-1}+F_{i-2}.$

برای هر عدد صحیح n، دنباله اعداد فیبوناچی F_i گرفته شده از هم نهشتی nام به صورت تناوبی است.

تناوب پیزانو که به شکل (n)$\pi$ نشان داده می‌شود، طول تناوب در این دنباله است. به عنوان مثال، دنباله اعداد فیبوناچی با هم نهشتی ۳ به صورت زیر است:

۰، ۱، ۱، ۲، ۰، ۲، ۲، ۱، ۰، ۱، ۱، ۲، ۰، ۲، ۲، ۱، ۰، ۱، ۱، ۲، ۰، ۲، ۲، ۱، ۰، … الگو:OEIS

این دنباله دارای تناوب ۸ است، بنابراین ۸ = (3)الگو:Pi.

منابع

• الگو:Citation
• الگو:Citation
• الگو:Citation
• الگو:Citation
• الگو:Citation
• الگو:Citation
• الگو:Citation
• الگو:Citation
• الگو:Citation
• الگو:Citation

لینک‌های دیگر

• مدول دنباله فیبوناچی m
• تحقیقی برای اعداد فیبوناچی
• دنباله فیبوناچی با q, r مدول m شروع می‌شود
  • الگو:یوتیوب، ویدئویی با دکتر جیمز گریم و دانشگاه ناتینگهام