ناهماهنگی

انرژی پتانسیل یک مولکول دواتمی به عنوان تابعی از فاصله‌بندی اتمی. زمانی که مولکول‌ها خیلی نزدیک یا خیلی دور باشند، نیروی بازگشتی را به سمت u₀ تجربه می‌کنند. (تصور کنید یک سنگ مرمر در فرورفتگی به جلو و عقب می‌غلتد) منحنی آبی از نظر شکل نزدیک به چاه پتانسیل واقعی مولکول است، درحالی که سهمی قرمز تقریب خوبی برای نوسانات کوچک است. تقریب قرمز، مولکول را به عنوان یک نوسانگر هماهنگ در نظر می‌گیرد، زیرا نیروی بازگشت، V'(u)- نسبت به جابجایی u خطی است.

در مکانیک کلاسیک، ناهماهنگی الگو:به انگلیسی یا ناهارمونیکی عبارت است از انحراف یک سامانه از داشتن یک نوسان‌سازی هماهنگ. نوسان‌سازی که در حرکت هماهنگی نوسانی ندارد به عنوان نوسانگر ناهماهنگ شناخته می‌شود که در آن سامانه را می‌توان به یک نوسانگر هماهنگ تقریب‌زد و ناهماهنگی را می‌توان با استفاده از نظریه پریشیدگی محاسبه کرد. اگر ناهماهنگی زیاد باشد، باید از فنون‌های عددی دیگری استفاده کرد. در واقع تمام سامانه‌های نوسانی ناهماهنگ هستند، اما بیشتر آنها که دامنه نوسان کمتر است به نوسانگر هماهنگ نزدیک می‌شوند.

در نتیجه نوسانات با فرکانس‌ها $2\omega$ و $3\omega$ و غیره، که $\omega$ فرکانس اساسی نوسانگر است، ظاهر می‌شود. علاوه بر این، فرکانس $\omega$ از فرکانس ${\omega }_0$ از نوسانات هماهنگ منحرف می‌شود همچنین رجوع کنید به میان‌مدگرایی و تُن‌های ترکیبی. به عنوان اولین تقریب، جابجایی فرکانس $\mathrm{\Delta }\omega =\omega -{\omega }_0$ متناسب با مجذور دامنه نوسان $A$ است:

$\mathrm{\Delta }\omega \propto A^2$

در سامانه‌ای از نوسانگرها با فرکانس‌های طبیعی ${\omega }_{\alpha }$ ، ${\omega }_{\beta }$ ،... ناهماهنگی منجر به نوسانات اضافی با فرکانس‌های ${\omega }_{\alpha }\pm {\omega }_{\beta }$ می‌شود.

ناهماهنگی همچنین نمایه انرژی منحنی تشدید را اصلاح می‌کند که منجر به پدیده‌های جالبی مانند اثر فولدوور و رزونانس ابرهماهنگ می‌شود.

اصل کلی

۲ آونگ کشسان DOF که رفتار ناهماهنگی از خود نشان می‌دهد.

الگو:تصویر چندگانه نوسانگر یک سامانه فیزیکی است که با حرکت تناوبی مانند آونگ، تیون چنگالی یا مولکول دواتمی ارتعاشی مشخص می‌شود. از نظر ریاضی، ویژگی اساسی یک نوسانگر این است که برای برخی از مختصات الگو:ریاضی از سامانه، نیرویی که بزرگی آن به الگو:ریاضی بستگی دارد، الگو:ریاضی از مقادیر نهایی دور کرده و به سمت مقدار مرکزی الگو:ریاضی برمی‌گرداند و باعث می‌شود الگو:ریاضی بین کرانه‌ها نوسان کند. به عنوان مثال، الگو:ریاضی ممکن است نشان دهنده جابجایی آونگ از موقعیت استراحت آن الگو:ریاضی باشد. همان‌طور که قدرمطلق الگو:ریاضی افزایش می‌یابد، نیروی بازگردانی که بر وزن آونگ وارد می‌شود و آن را به سمت وضعیت استراحت خود به عقب می‌راند، افزایش می‌یابد.

در نوسانگرهای هماهنگ، نیروی بازگشت از نظر بزرگی (و در جهت مخالف) با جابجایی الگو:ریاضی از موقعیت طبیعی آن الگو:ریاضی متناسب است. معادله دیفرانسیل حاصل حاکی از آن است که الگو:ریاضی باید در طول زمان به‌صورت سینوسی نوسان داشته باشد، با دوره‌تناوبی از نوسان که ذاتی سامانه است. الگو:ریاضی ممکن است با هر دامنه ای نوسان داشته باشد، اما همیشه یک دوره‌تناوب خواهد داشت.

با این حال، نوسانگرهای ناهماهنگی با وابستگی غیرخطی نیروی بازگشتی به جابجایی x مشخص می‌شوند. درنتیجه، دوره‌تناوب نوسان‌ساز ناهماهنگ ممکن است به دامنه نوسان آن بستگی داشته باشد.

درنتیجه غیرخطی بودن نوسانگرهای ناهماهنگ، فرکانس ارتعاش می‌تواند بسته به جابجایی سامانه تغییر کند. این تغییرات در فرکانس ارتعاش منجر به تزویج الگو:به انگلیسی شدن انرژی از فرکانس اصلی ارتعاش به فرکانس‌های دیگر از طریق فرآیندی به نام تزویج‌سازی پارامتری الگو:به انگلیسی می‌شود.الگو:نیازمند شفاف‌سازی

در نظر گرفتن نیروی بازگشتی غیرخطی به عنوان تابع الگو:ریاضی از جابجایی x از موقعیت طبیعی آن، ممکن است الگو:ریاضی با تقریب خطی آن الگو:ریاضی در جابجایی صفر جایگزین کنیم. تابع تقریبی F₁ خطی است، بنابراین حرکت هماهنگی ساده را توصیف می‌کند. علاوه بر این، این تابع الگو:ریاضی زمانی دقیق است که الگو:ریاضی کوچک باشد. به همین دلیل می‌توان حرکت ناهماهنگی را تا زمانی که نوسانات کوچک باشد به عنوان حرکت هماهنگ تقریب زد.

نمونه‌هایی در فیزیک

سامانه‌های زیادی در سراسر جهان فیزیکی وجود دارند که می‌توان آن‌ها را علاوه بر سامانه‌های غیرخطی جرم - فنر، به‌عنوان نوسانگرهای ناهماهنگ مدل‌سازی کرد. به عنوان مثال، یک اتم که از یک هسته با بار مثبت تشکیل شده است که توسط یک ابر الکترونیکی با بار منفی احاطه شده است، زمانی که یک میدان الکتریکی وجود دارد، جابجایی بین مرکز جرم هسته و ابر الکترونیکی را تجربه می‌کند. مقدار آن جابجایی که ممان دوقطبی الکتریکی نامیده می‌شود، به صورت خطی با میدان اعمال شده برای میدان‌های کوچک مرتبط است، اما با افزایش بزرگی میدان، رابطه گشتاور دوقطبی میدان غیرخطی می‌شود، درست مانند سامانه مکانیکی.

نمونه‌های بیشتری از نوسان‌سازهای ناهماهنگ شامل آونگ با زاویه بزرگ است. نیم‌رساناهای غیرتعادلی که دارای انبوهه حامل گرم زیادی هستند که رفتارهای غیرخطی از انواع مختلف مربوط به جرم مؤثر حامل‌ها را نشان می‌دهند. و پلاسمای یونوسفر، که همچنین رفتار غیرخطی بر اساس ناهماهنگی پلاسما، رشته‌های نوسان عرضی از خود نشان می‌دهند. در واقع، تقریباً همه نوسانگرها زمانی ناهماهنگ می‌شوند که دامنه پمپ آنها فراتر از آستانه افزایش یابد و درنتیجه لازم است از معادلات غیرخطی حرکت برای توصیف رفتار آنها استفاده شود.

ناهماهنگی در شبکه و ارتعاشات مولکولی، در نوسانات کوانتومی و در آکوستیک نقش دارد. اتم‌های موجود در یک مولکول یا یک جامد در مورد موقعیت‌های تعادلی خود ارتعاش می‌کنند. هنگامی که این ارتعاشات دارای دامنه‌های کوچک هستند، می‌توانند توسط نوسانگرهای هماهنگ توصیف شوند. با این حال، هنگامی که دامنه‌های ارتعاش بزرگ هستند، به عنوان مثال در دماهای بالا، ناهماهنگی مهم می‌شود. نمونه ای از اثرات ناهماهنگی، انبساط حرارتی جامدات است که معمولاً با تقریب شبه‌هماهنگ مورد مطالعه قرار می‌گیرد. مطالعه سامانه‌های ناهماهنگ ارتعاشی با استفاده از مکانیک کوانتومی یک کار محاسباتی سخت است زیرا ناهماهنگی نه تنها پتانسیل تجربه شده توسط هر نوسان‌گر را پیچیده‌تر می‌کند، بلکه تزویج بین نوسان‌گرها را نیز درنظر می‌گیرد. می‌توان از روش‌های اصول اولی مانند نظریه تابعی-چگالی برای ترسیم پتانسیل ناهماهنگ تجربه شده توسط اتم‌ها در هر دو مولکول و جامدات استفاده کرد. انرژی‌های ارتعاشی ناهماهنگ دقیق را می‌توان با حل معادلات ارتعاشی ناهماهنگ برای اتم‌ها در یک نظریه میدان میانه به‌دست‌آورد. درنهایت، می‌توان از نظریه آشفتگی مولر-پلست برای فراتر رفتن از فرم‌بندی میدان میانه استفاده کرد.

دوره‌تناوب نوسانات

یک جرم $m$ را در نظر بگیرید حرکت در یک چاه پتانسیل $U(x)$ . دوره‌تناوب نوسان ممکن است مشتق شود$$T=\sqrt{2m}\underset{x_{-}}{\overset{x_{+}}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}$$که در آن کرانه حرکت توسط $x_{-}<x<x_{+}$ و $U(x_{-})=U(x_{+})=E$ داده می‌شود.

جستارهای وابسته

• ناموزونی
• نوسانگر هماهنگ
• آکوستیک موزیکال
• تشدید غیرخطی
• ترنسمون

منابع

• الگو:Citation
• الگو:Citation

پیوند به بیرون

• الگو:Citation