میانگین‌های فیثاغورثی

شکل هندسی میانگین درجه دوم و فیثاغورث (از دو عدد a و b). میانگین همساز با H الگو:Colorboxالگو:Nbsp، هندسی با G الگو:Colorboxالگو:Nbsp، حسابی با A الگو:Colorboxالگو:Nbsp و میانگین درجه دوم (همچنین با عنوان جذر میانگین مربعات نیز شناخته می‌شود) که با Q نشان داده شده است الگو:Colorboxالگو:Nbsp.

در ریاضیات، سه میانگین فیثاغورثی، الگو:به انگلیسی کلاسیک عبارتند از میانگین حسابی (AM)، میانگین هندسی (GM) و میانگین همساز (HM). این میانگین‌ها به دلیل اهمیت آنها در هندسه و موسیقی توسط فیثاغورثی‌ها و نسل‌های بعدی ریاضیدانان یونانی به‌صورت مفصل مورد مطالعه قرار گرفتند.

تعریف

این میانگین‌ها عبارتند از:

$$\begin{array}{cc}\mathrm{AM}(x_1,\dots ,x_n)& =\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}\\ \mathrm{GM}(x_1,\dots ,x_n)& =\sqrt[n]{|x_1\times \cdots \times x_n|}\\ \mathrm{HM}(x_1,\dots ,x_n)& =\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots +\frac{1}{x_n}}\end{array}$$

نابرابری بین میانگین‌ها

ترتیبی برای این سه میانگین وجود دارد (اگر همه $x_i$ مثبت باشند):

$$\min \le \mathrm{HM}\le \mathrm{GM}\le \mathrm{AM}\le \max$$

و زمانی هر سه این میانگین‌ها برابر هستند که اگر و فقط اگر همه $x_i$‌ها برابر باشند.

جستارهای وابسته

• میانگین حسابی-هندسی
• میانگین
• نسبت طلایی
• مثلث کپلر

منابع

• ویکی‌پدیا انگلیسی: en:Pythagorean means. تاریخ بازبینی ۷ ژوئیه ۲۰۱۴