میانگین تعمیم‌یافته

در ریاضیات، میانگین تعمیم‌یافته الگو:به انگلیسی (یا میانگین توانی یا میانگین هلدر)^[۱] خانواده‌ای از توابع برای تجمیع مجموعه‌های اعداد هستند. اینها به عنوان موارد خاص عبارتند از میانگین فیثاغورثی (میانگین حسابی، میانگین هندسی و میانگین همساز).

تعریف

اگر p یک عدد حقیقی غیر صفر باشد، و y,x اعداد حقیقی مثبت هستند، آنگاه میانگین تعمیم‌یافته یا میانگین توانی با توان p این اعداد حقیقی عبارت است از:^[۲]

$M_{p} (x_{1}, \dots, x_{n}) = {(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{p})}^{1 / p} .$

برای p=۰ این معادله برابر با میانگین هندسی می‌شود:

$M_{0} (x_{1}, \dots, x_{n}) = {(\prod_{i = 1}^{n} x_{i})}^{1 / n} .$

همچنین، برای دنباله‌ای از عددهای موزون مثبت، میانگین تعمیم‌یافته وزنی به‌صورت زیر است:

$M_{p} (x_{1}, \dots, x_{n}) = {(\frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}}{\sum_{i = 1}^{n} w_{i}})}^{1 / p}$

و زمانی که p=۰ برابر با میانگین هندسی موزون می‌گردد:

$M_{0} (x_{1}, \dots, x_{n}) = {(\prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{w_{i}})}^{1 / \sum_{i = 1}^{n} w_{i}} .$