گرادیان

الگو:حساب دیفرانسیل و انتگرال در حسابان بردارها گرادیان الگو:به فرانسوی یا شیو یک میدان نرده‌ای، میدانی برداری است که مؤلفه‌های آن نرخ تغییر میدان نخستین را در جهت‌های مختلف نشان می‌دهد. جهت خود میدان برداری گرادیان جهت بیشینهٔ تغییرات است.

به تعبیر دیگر برداری که اندازه و جهت حداکثر نرخ فضائی تغییر یک کمیت عددی را نمایش می‌دهد، گرادیان آن کمیت عددی تعریف می‌کنیم.

$\mathrm{\nabla }f=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n})$

در حالت خاص برای اسکالر الگو:چر$f(x,y,z)$الگو:چر، گرادیان f در دستگاه کارتزین به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\text{grad}f=\frac{\partial f}{\partial x}𝐢+\frac{\partial f}{\partial y}𝐣+\frac{\partial f}{\partial z}𝐤=\mathrm{\nabla }f$

تعبیر فیزیکی

$\mathrm{\nabla }\varphi$ برداری است در جهت بیشینه آهنگ تغییر فضایی $\varphi$ و همواره بر سطح $\varphi =cte$ عمود است؛ مثلاً گرادیان سرعت برابر نیروی محرکه است.

در دستگاه مختصات مختلف

در دستگاه مختصات دکارتی (کارتزین) گرادیان برابر است با:

$\mathrm{\nabla }f(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\end{array}\right)$

و در دستگاه مختصات استوانه‌ای:

$\mathrm{\nabla }f(\rho ,\theta ,z)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial \rho },\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \theta },\frac{\partial f}{\partial z}\end{array}\right)$

و در دستگاه مختصات کروی عبارت است از:

$\mathrm{\nabla }f(r,\theta ,\varphi )=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial r},\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta },\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \varphi }\end{array}\right)$

برخی خواص

اگر $f$ و $g$ دو اسکالر باشند، آنگاه گرادیان $fg$ برابر است با:

$\mathrm{\nabla }(fg)=f\mathrm{\nabla }g+g\mathrm{\nabla }f$

و اگر $\overrightarrow{u}$ و $\overrightarrow{v}$ دو تابع برداری باشند، گرادیان $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$

$\mathrm{\nabla }(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})=(\overrightarrow{u}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{v}+(\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v})+\overrightarrow{v}\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{u})$

مثال

به عنوان مثال :

گرادیان $f(x,y,z)=2x+3y^2-\sin (z)$ برابر است با:

$\mathrm{\nabla }f=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2,6y,-\cos (z)\end{array}\right)$

جستارهای وابسته

• عملگر دیفرانسیلی (دِل)
• دیورژانس
• کرل
• لاپلاسین
• تقویت گرادیان

منابع

• الگو:یادکرد