رویه کاپرکار
در نظریه اعداد، رَویِّه کاپرِکار (Kaprekar's Routine)، یک الگوریتم تکراری است که در هر تکرار خود عددی طبیعی در مبنای خاصی را گرفته و از روی آن با مرتبسازی ارقامش به دو حالت ترتیب صعودی و نزولی، دو عدد جدید ایجاد کرده که تفاضلشان، عددی را بهوجود میآورد که در تکرار بعدی الگوریتم مجدد مورد استفاده قرار میگیرد. این رویه را به نام ریاضیدان هندی مخترع آن، دی. آر. کاپرکار نامگذاری نمودهاند.
کاپرِکار نشان داد که درحالت ۴-رقمی، اگر عدد آغازین دارای حداقل دو رقم متمایز باشد، همیشه پس از گذشت ۷ تکرار عدد ۶۱۷۴ تولید میگردد که اکنون به آن ثابت کاپرِکار گفته میشود.الگو:Sfn
تعریف و خواص
این الگوریتم به صورت زیر است:الگو:Sfn
- یک عدد طبیعی چون در مبنای انتخاب کنید. این عدد اولین عدد دنباله خواهد بود.
- بامرتب سازی ارقام به صورت نزولی عدد جدید و با مرتبسازی ارقام به صورت صعودی عدد جدید بدست میآیند. این اعداد ممکن است دارای ارقام پیشروی صفر باشند که در این صورت نادیده انگاشته خواهند شد (که البته میتوان آنها را حفظ کرد). از تفاضل عدد بعدی دنبال بدست خواهد آمد.
- مرحله ۲ را تکرار کنید.
به این دنباله، دنباله کاپرکار گفته شده و تابع نیز نگاشت کاپرکار نام دارد. برخی از اعداد به خودشان نگاشته میشوند؛ این اعداد نقاط ثابت نگاشت کاپرکار بوده[۱] و به آنها ثوابت کاپرکار میگویند. برای تمام پایههای ، صفر یک ثابت کاپرکار است و لذا به آن ثابت بدیهی کاپرکار گفته میشود. سایر ثوابت کاپرکار را ثوابت نابدیهی کاپرکار گویند.
به عنوان مثال در مبنای ۱۰ با شروع از ۳۵۴۲ داریم: الگو:وسطچین الگو:پایان وسطچین
که در آن ۶۱۷۴ یک ثابت کاپرکار است.