گروه حل‌پذیر

در ریاضیات، بخصوص در حوزه نظریه گروه‌ها، گروه حل‌پذیر الگو:انگلیسی، گروهی است که می‌توان آن را از گروه‌های آبلی و با کمک توسیع گروهی ساخت. به‌طور معادل، گروه حل‌پذیر، گروهی است که سری مشتق شده آن به زیرگروه بدیهی پایان می‌پذیرد.

انگیزش

به‌طور تاریخی، کلمه «حل‌پذیر» از نظریه گالوا و اثبات حل ناپذیری معادلات چندجمله‌ای درجه پنج در حالت کلی سر برمی‌آورد. بخصوص، یک معادله چندجمله‌ای برحسب رادیکال‌ها حل‌پذیر است اگر و تنها اگر گروه گالوای متناظر با آن نیز حل‌پذیر باشد (توجه کنید که این قضیه تنها زمانی که میدان دارای مشخصه ۰ باشد برقرار است). یعنی با هر چندجمله‌ای $f \in F [x]$ ، برجی از توسیعات میدانی به صورت زیر متناظر است:

$F = F_{0} \subset F_{1} \subset F_{2} \subset \dots \subset F_{m} = K$

چنان‌که:

$F_{i} = F_{i - 1} [α_{i}]$ ، که در آن $α_{i}^{m_{i}} \in F_{i - 1}$ ، چنان‌که $α_{i}$ جوابی به معادله $x^{m_{i}} - a$ است که در آن $a \in F_{i - 1}$ است.
$F_{m}$ شامل میدان شکافنده ای برای $f (x)$ است.