تار (ریاضیات)

اصطلاح تار یا فیبر الگو:انگلیسی در ریاضیات، براساس زمینه کاربردی می‌تواند دو معنا داشته باشد:

1. در نظریه طبیعی مجموعه‌ها، تار برای عنصری مثل الگو:Mvar در مجموعه الگو:Mvar تحت نگاشت $f:X\to Y$ برابر تصویر وارون مجموعه تک‌عضوی $\{y\}$ تحت الگو:Mvar است.الگو:Sfn
2. در هندسه جبری، مفهوم یک تار از یک ریخت (مورفیسم) از اسکیم‌ها را باید به صورت دقیق‌تر تعریف کرد، چرا که در حالت کلی، هر نقطه لزوماً بسته نیست.

تعاریف

تار در نظریه طبیعی مجموعه‌ها

فرض کنید که الگو:Math یک نگاشت باشد. تار یک عنصر $y\in Y$ که معمولاً توسط $f^{-1}(y)$ نشان داده می‌شود، به صورت $$f^{-1}(y):=\{x\in X\mid f(x)=y\}.$$ تعریف می‌شود؛ یعنی، تار الگو:Mvar تحت الگو:Mvar برابر مجموعه عناصر در دامنه الگو:Mvar است که به الگو:Mvar نگاشت داده شده‌است.

تصویر وارون یا پیش‌تصویر $f^{-1}(A)$ مفهوم تار را به زیرمجموعه‌های $A\subseteq Y$ از هم‌دامنه تعمیم می‌دهد. نمادگذاری $f^{-1}(y)$ هنوز به تار ارجاع دارد، زیرا تار یک عنصر الگو:Mvar برابر پیش‌تصویر مجموعه تک‌عضوی $\{y\}$ است، یعنی $f^{-1}(\{y\})$. این موضوع به این معنی است که، «تار» را می‌توان یک تابع از هم‌دامنه به مجموعه توانی دامنه در نظر گرفت: $f^{-1}:Y\to 𝒫(X)$ درحالیکه پیش‌تصویر این موضوع را به یک تابع بین مجموعه‌های توانی تعمیم می‌دهد: $f^{-1}:𝒫(Y)\to 𝒫(X)$.

اگر الگو:Mvar به اعداد حقیقی نگاشت داشته باشد، در اینصورت $y\in ℝ$ یک عدد ساده است، و آنوقت تار $f^{-1}(y)$ یک مجموعه تراز از الگو:Mvar تحت الگو:Mvar نامیده می‌شود: $L_y(f)$. اگر الگو:Mvar یک تابع پیوسته باشد و الگو:Mvar در تصویر الگو:Mvar باشد، آنوقت مجموعه تراز الگو:Mvar تحت الگو:Mvar در ۲بعد یک منحنی است، و در ۳بعد یک رویه است، و به صورت کلی‌تر ابررویه‌ای از بعد الگو:Math است.

تار در هندسه جبری

در هندسه جبری، اگر الگو:Math یک ریخت از اسکیم‌ها باشد، تار یک نقطه الگو:Mvar در الگو:Mvar برابر ضرب تاری از اسکیم‌ها است

$X{\times }_Y\mathrm{Spec}k(p)$

که در آن $k(p)$ برابر میدان باقیمانده در الگو:Mvar است.

منابع

• الگو:Cite book