فضای برداری نرم‌دار

الگو:Short description الگو:همچنین ببینید

در ریاضیات، فضای برداری نرم‌دار الگو:به انگلیسی یا فضای نرم‌دار، فضایی برداری روی اعداد حقیقی یا مختلط است که برای آن نرم تعریف شده باشد.^[۱] نرم، صوری سازی و تعمیم مفهوم «طول» در جهان واقعی را به فضاهای برداری حقیقی تعمیم می‌دهد. نرم، تابعی حقیقی-مقدار است که روی فضای برداری عریف شده و اکثراً به صورت $x \mapsto ‖ x ‖,$ نمایش داده شده و دارای خواص زیر است:الگو:Sfn

نامنفی است، یعنی برای هر بردار $x$ داریم $‖ x ‖ \geq 0$ .
روی بردارهای ناصفر، بزرگتر از صفر است:
$‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0 .$
برای هر بردار $x$ ، و هر اسکالر $α$ داریم:
$‖ α x ‖ = | α | ‖ x ‖ .$
نامساوی مثلثی برقرار است، یعنی برای هر دو بردار $x, y$ داریم:
$‖ x + y ‖ \leq ‖ x ‖ + ‖ y ‖ .$

برای هر نرم از طریق رابطه زیر یک متر تعریف می‌شود:

d (x, y) = ‖ y - x ‖ .

که فضای برداری نرم دار را تبدیل به یک فضای متری و یک فضای برداری توپولوژیکی می‌کند. اگر متر $d$ مذکور کامل باشد، به فضای نرم دار مورد نظر، فضای باناخ می‌گویند.