فرم بنیادی اول

در هندسه دیفرانسیل، فرم بنیادی اول الگو:به انگلیسی ضرب داخلی روی فضای مماس یک رویه در فضای اقلیدسی سه بعدی است که به طور کانونی از ضرب داخلی ${ℝ}^3$ القا می شود. این فرم، امکان محاسبه انحنا و خواص متری یک رویه چون طول و مساحت را به گونه ای که با فضای پیرامونی سازگار باشد را می دهد. اولین فرم بنیادی با عددگذاری رومی $I$ نمایش می دهند:

$\mathrm{I}(x,y)=⟨x,y⟩.$

فرض کنید $X(u,v)$ یک رویه پارامتری باشد. آنگاه ضرب داخلی دو بردار مماس به این صورت است:

$\begin{array}{cc}& \mathrm{I}(a{X}_u+b{X}_v,c{X}_u+d{X}_v)\\ & =ac⟨X_u,X_u⟩+(ad+bc)⟨X_u,X_v⟩+bd⟨X_v,X_v⟩\\ & =Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{array}$

که در آن $E$ و $F$ و $G$ ضرایب فرم بنیادی اول اند.

فرم بنیادی اول را می توان به صورت ماتریس متقارن زیر نمایش داد:

$\mathrm{I}(x,y)=x^{𝖳}\left(\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right)y$

منابع

• الگو:یادکرد-ویکی